@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema IV Discusión de sistemas

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 REGLA DE CRAMER TEMA 4.1 * 2º BCS

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 REGLA DE CRAMER Sea un sistema con el mismo número de ecuaciones que incógnitas. Sea un sistema que es compatible y determinado. Sea, por ejemplo, el sistema de orden 3 cualquiera: a.x + b.y + c.z = d a’.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” La matriz de los coeficientes será: La matriz ampliada será: a b c a b c d (A)= a’ b’ c’ (AM)= a’ b’ c’ d’ a” b” c” a” b” c” d” Si el rango de A es igual al rango de AM y a su vez igual al número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado, y se podrá resolver mediante determinantes.

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 REGLA DE CRAMER SOLUCIONES POR LA REGLA DE CRAMER Si un sistema cumple las premisas de ser compatible y determinado, las soluciones del sistema serán: a b c |A| = a’ b’ c’ a” b” c” d b c a d c a b d d’ b’ c’ a’ d’ c’ a’ b’ d’ d” b” c” a” d” c” a” b” d” x = ; y = ; z = |A| |A| |A| O bsérvese que en los determinantes del numerador se ha sustituido en |A| los coeficientes de la incógnita a calcular por la columna de las soluciones

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 Ejemplo 1 Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será: x + y + z = x + z = 5A =201 3.x - y = |A| = = – 2 – – 0 = Siendo las soluciones del sistema: x = = ---- = 1 ; y= = --- = 2 ; Z = = --- = 3 |A| 2 |A| 2 |A| 2 Que se puede comprobar que verifican las ecuaciones.

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 Ejemplo 2 Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será: x + z = y + z = 8A =021 3.x – y = – 53– |A| = = – 6 – 0 – (– 1) = – 5 3 – 1 0 Siendo las soluciones del sistema: – 5 – – 5 0 – 10 3 – 1 – 5 – 20 x = = ; y = = ; z = = |A| – 5|A| – 5 |A| – 5 Es decir: x = – 1, y = 2, z = 4, que se puede comprobar.

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 Ejemplo 3 Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será: x + y + z = 3111 x – y + z = 1A =1– 11 – x + y + z = 1– |A| = 1 – 1 1 = – 1 – – 1 – 1 – 1 = – 4 – Siendo las soluciones del sistema: – – – 4 x = = ; y = = ; z = = |A| – 4|A| – 4 |A| – 4 Es decir: x = y = z = 1, que se puede comprobar.

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 Ejemplo 4 Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será: Donde a es un parámetro x + y + z = 3111 x – y + z = 1A =1– 11 a.y + z = 10a |A| = 1 – 1 1 = – a – 0 – a – 1 = – 2 0 a 1 El rango de |A| es 3, independientemente de lo que valga el parámetro a. Siendo las soluciones del sistema: a 1 –2a – 2 0 a 1 2a– 2 x = = ; y = = ; z = = |A| – 2|A| – 2 |A| – 2 Es decir: x = a + 1, y = – 1, z = 1 – a, que se puede comprobar.

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Ejemplo 5 Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será: Donde a es un parámetro x + y + z = 3111 x – a.y + z = 1A =1– a1 2.x + z = a |A| = 1 – a 1 = – a a – 0 – 1 = a El rango de |A| es 3 si (a + 1)<> 0, si a <> – 1 Si a = – 1, el rango de A no es 3 y por tanto NO se puede aplicar Cramer. Siendo las soluciones del sistema, si a <> – a a 1 a a a x = ; y = ; z = |A||A| |A|

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 … Ejemplo 5 Teníamos las soluciones del sistema, si a <> – a a 1 a a a x = ; y = ; z = |A||A| |A| Que resolviendo los determinantes, queda: x = (a 2 – 2.a – 1)/(a+1) y = 2/(a+1) z = (– a a + 2)/(a+1) Si a = – 1 x + y + z = 3 x + y + z = 1 2.x + z = – 1 Como se puede ver el sistema es incompatible, no admite solución: 3 <> 1