UNIDAD N° 2 LIMITES DE FUNCIONES Docente Valentin Prieto Saucedo Santa Cruz - Bolivia

Definición de Limites En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

0 < | x – x0 | < d  | f(x) – L | < e Definición de límite Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0. Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos si, para cada número e > 0, existe un número correspondiente d > 0 tal que para toda x 0 < | x – x0 | < d  | f(x) – L | < e

Proceso de Calculo de Limites x0 L L +1/10 L–1/10 y = f(x) O hacer que | f (x) – L| < e = 1/10 x0 L L +1/10 L–1/10 y = f(x) O Respuesta: | x – x0 | < d1/10 (un número) x0+d1/10 x0 L L +1/100 L–1/100 y = f(x) O hacer que | f (x) – L| < e = 1/100 x0 L L +1/100 L–1/100 y = f(x) O Respuesta: | x – x0 | < d1/100 x0+d1/100

Reglas para calcular límites Teorema #1 Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son números reales) 1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M 2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M 3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M 4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL por una constante 5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M  0 6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n

Tipos de Indeterminación

Operaciones Conocidas

Límites de Polinomios Teorema #2 Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0 Teorema #3 Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero. Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

Indeterminación 0/0 Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite. Ejemplo: Resolver los siguientes limites con indeterminación 0/0 Regla: Para resolver este tipo de indeterminación 0/0, se debe Factorizar tanto denominador como denominador y simplificar luego remplazar el limites.