Transformaciones de variables aleatorias Clase 5 Transformaciones de variables aleatorias

Definición de función medible Decimos que una función es Borel medible, o simplemente medible, si Observaciones: Recordemos que es el conjunto de las preimágenes de B. Siendo B un - álgebra en R, lo que se está exigiendo es que la preimagen de un boreliano sea un boreliano. (el conjunto formado por todas las preimágenes es un álgebra de Borel)

Definición de función medible Debemos tener en cuenta las siguientes propiedades (el estudiante puede probarlas): La composición de funciones medible es medible. Las funciones continuas son medibles. Ahora estamos en condiciones de probar que la composición de una variable aleatoria y una función medible es una variable aleatoria.

Teorema Sea X una variable aleatoria definida en ( , A) y sea , A) una función medible, entonces es una variable aleatoria definida sobre ( , A) Demostración:

Observación: La función distribución de la variable aleatoria Y se puede expresar en función de X de la siguiente manera:

Consideramos una variable aleatoria continua con función densidad : EJEMPLO Consideramos una variable aleatoria continua con función densidad : es medible, o sea que, Y es v.a. La función Hallar la función densidad de la variable

Cambio de variables discretas Teorema Sea ( , A, P) un espacio de probabilidad Sea X una variable aleatoria discreta Sea una función medible Entonces es una variable aleatoria discreta, con función de cuantía: demostración a cargo del estudiante.

Ejemplo: Sea X una variable aleatoria discreta con rango y cuya función de cuantía se expresa en la siguiente tabla: x -2 -1 0 1 2 f(x) 1/5 1/10 1/5 2/5 1/10 Obtengamos la función de cuantía de la variable Y=X2 Estamos considerando entonces la función Entonces la función de cuantía es:

Cambios de variables continuas Teorema: Cambio lineal Sea X una variable aleatoria absolutamente continua. Sean y su función distribución y su función densidad Consideremos la variable aleatoria Y = aX + b con a 0 , si Entonces: y si , demostración

Sea X una variable continua con función densidad: EJEMPLO: Sea X una variable continua con función densidad: Por lo que su función distribución será: Hallar la función densidad de la variable Y = 2X + 1. Será un cambio de variable lineal

Teorema: Cambio cuadrático Sea X una variable aleatoria absolutamente continua. Sean y su función distribución y su función densidad Consideremos la variable aleatoria Y = X2 Entonces: y Demostración:

EJEMPLO: Sea la función O sea que son x real. Esta función es continua y no negativa ¿es una función densidad? O sea que es una función densidad y su función distribución: es

Si consideramos el cambio de variable cuadrático Y=X2 entonces el Y si y> 0

Teorema: Sea X una variable aleatoria absolutamente continua, con función densidad .positiva en un intervalo Sea una función estrictamente creciente y continua en Entonces: Y=g(X) es una variable absolutamente continua. su función distribución es su función densidad: Demostración:

Ejemplos: Consideramos una variable aleatoria continua con función densidad Consideramos la variable aleatoria Hallar función densidad de Y

Teorema: Sea X una variable aleatoria absolutamente continua, con función densidad .positiva en un intervalo Sea una función estrictamente decreciente y continua en Entonces: Y=g(X) es una variable absolutamente continua. su función distribución es su función densidad: Demostración: