Métodos numéricos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Contenido Planteamiento del problema Método de Punto Fijo Método de Newton Variantes del método de Newton Evaluación diferida del jacobiano Aproximación por diferencias finitas Newton unidimensional Métodos cuasi-Newton (Broyden)

Notación Escalar Vectorial

Resolución iterativa x(0) estimación inicial de la solución Iteraciones: x(1), x(2), …, x(k) Criterio de convergencia | x(k+1) - x(k) | < tol Criterio de parada k > maxiter

Esquema del algoritmo Entrada: f, x0, tol, maxiter Proceso Inicializar incr, iter Mientras incr > tol & iter < maxiter Obtener x incr = norm(x - x0) Actualizar x0, iter Salida: x, iter, incr Si incr > tol no converge

Método de Punto Fijo Punto fijo Estimación inicial Iteraciones Criterio de parada

Algoritmo de Punto Fijo function [x,iter,incr] = pfijo(g,x0,tol, maxiter) iter = 0; incr = tol + 1; while incr > tol & iter < maxiter x = feval(g,x0); incr = norm(x - x0); iter = iter + 1; x0 = x; end if incr > tol, disp(‘No converge’), end

Ejemplo Sistema no lineal Problema de Punto Fijo

Punto Fijo con desplazamientos simultáneos Punto Fijo con desplazamientos sucesivos

Código de la función function y=f(x) % Función para el método de punto % fijo con desplazamientos simultáneos y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6; y(2) = sqrt(x(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1; y(3) = (1-exp(-x(1)*x(2)))/20 - pi/6;

Ejemplo 1: Desp. simultáneos

Código de la función function y=f(x) % Función para el método de punto % fijo con desplazamientos sucesivos y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6; y(2) = sqrt(y(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1; y(3) = (1-exp(-y(1)*y(2)))/20 - pi/6;

Ejemplo 1: Desp. sucesivos

Método de Newton Sistema de ecuaciones Aproximación por el plano tangente Paso de Newton

El archivo f.m evalúa la función y el jacobiano Algoritmo de Newton function [x,iter,incr] = newton(f,x,tol, maxiter) iter = 0; incr = tol+1; while incr > tol & iter < maxiter [fx,dfx] = feval(f,x); delta = - dfx \ fx; incr = norm(delta); iter = iter+1; x = x + delta; end if incr>tol, disp(‘No converge’), end El archivo f.m evalúa la función y el jacobiano

Método de Newton. Ejemplo 2 Sistema Estimación inicial Primera iteración

Resultados Newton Ejemplo 2

Método de Newton. Ejemplo 3 Sistema no lineal Jacobiana

Resultados Newton. Ejemplo 3

Variantes de Newton (Ejercicio...) Actualización periódica del Jacobiano Aproximación del Jacobiano por diferencias divididas Newton con desplazamiento unidimensional

Métodos casi-Newton Idea de la secante Formulación matricial No usa las derivadas parciales Convergencia superlineal Formulación matricial

Método de Broyden Iterar siendo

Actualización de la inversa

Algoritmo de Broyden Entrada Inicio Iteraciones: k = 1, 2, ... x0 ,tol, maxiter Inicio M: Inversa del Jacobiano en x0 x1 = x0 - M*F(x0) incr, iter Iteraciones: k = 1, 2, ... Actualizar M % Ak-1-1  Ak-1 xk+1 = xk - M*F(xk)

Actualización de M w = v; % F(xk-1) v = F(x); % F del iterado actual y = v - w; % F(xk) - F(xk-1) z = - M*y; % - Ak-1-1 * yk p = - s' *z; % (sk - xk-1)T * Ak-1-1 * yk q = s' *M; % sk T * Ak-1-1 R = (s+z)*q/p; % Transformación rango 1 M = M+R; % Inversa nueva: Ak-1 s = - M*v; % Paso de Broyden: sk+1

Algoritmo de Broyden while incr > tol w = v; % F(x(k-1)) v = F(x); y = v-w; % F(x(k)) - F(x(k-1)) z = - M*y; % -inv(A(k-1))*y(k) p = - s' *z; q = s' *M; % s(k)'*inv(A(k-1) R = (s+z)*q/p; M = M+R; % inversa de A(k) s = - M*v; x = x+s; % Paso de Broyden incr = norm(s); end % Inicio v = F(x0) M = inv(DF(x0)) % Inversa Jacobiano s = - M*v; x = x0+s; % Paso de Newton incr = norm(s);

Resultados de Broyden. Ejemplo 3

Alternativas al primer paso Estimar el Jacobiano por diferencias divididas Estimación unidimensional del Jacobiano

F i n