Análisis cinemático: POSICION

Presentación del tema: "Análisis cinemático: POSICION"— Transcripción de la presentación:

1 Análisis cinemático: POSICION
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

2 MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
Índice INTRODUCCION. ANALISIS GRAFICO DE POSICIONES. Mecanismos con un único bucle. Mecanismos con varios bucles. ANALISIS NUMERICO DE POSICIONES. Introducción: Ecuación Vectorial de bucle cerrado. Planteamiento general (Método de Newton-Raphson). Estudio de posiciones singulares: puntos muertos. Trayectoria de puntos del mecanismo. MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

3 MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
Introducción En el tema anterior se comentó que para llevar a cabo el análisis cinemático de un mecanismo se debe estudiar las trayectorias recorridas por diversos puntos de sus eslabones para, posteriormente, determinar como son recorridas dichas trayectorias (estudio de velocidades y aceleraciones). El presente tema se ocupará del análisis del movimiento teniendo sólo en cuenta el cálculo de posiciones de los eslabones y el de trayectorias de diversos puntos del mecanismo, dejando el estudio de velocidades y aceleraciones para temas posteriores. Las definiciones y conceptos fundamentales relativos a la posición y a la trayectoria, han sido tratadas en temas de mecánica de cursos anteriores, por lo tanto, no van a repetirse aquí. MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

4 MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
Introducción Antes de acometer el problema del análisis de la posición, se debe: Conocer la geometría de los diferentes eslabones, así como el tipo de pares con los que estos están unidos. Determinar cual de los eslabones es la bancada. Calcular la movilidad del mecanismo. En función de la movilidad del mecanismo, conocer la posición del (o de los) eslabón motor. Esta posición viene determinada por la variable primaria, de entrada o motor. MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

5 Análisis gráfico de posiciones. Mecanismos con un solo bucle.
En la figura se representa de forma esquemática un mecanismo biela-manivela. Dicho mecanismo consta de los siguientes eslabones: Eslabón fijo o bancada coincidente con el eje x, e invariablemente unido al sistema de referencia fijo XOY. Eslabón OA, denominado manivela. Está unido a la bancada por medio de un par giratorio. Eslabón AB, denominado biela. Se une por medio de un par giratorio a la manivela y a través de otro par giratorio al pistón. El pistón se une por medio de un par prismático a la bancada Los datos geométricos necesarios para definir este mecanismo son La longitud de la manivela OA. La longitud de la biela AB. La dirección de la corredera (dirección del desplazamiento del pistón). MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

6 Análisis gráfico de posiciones. Mecanismos con un solo bucle.
La variable de entrada puede ser tanto la rotación de la manivela (por ejemplo en un compresor alternativo) como el desplazamiento del pistón (por ejemplo en un motor de explosión interna alternativo). En el desarrollo que sigue se considerará como variable de entrada la rotación de la manivela, cuya posición angular viene determinada por la coordenada angular q. En la figura se muestra como se realiza el cálculo de posiciones para diferentes valores de la coordenada angular q. MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

7 Análisis gráfico de posiciones. Mecanismos con un solo bucle.
Puede resultar interesante realizar diagramas de posición en los que se muestre como varía la posición de un punto en función del valor de la variable de entrada, estos datos pueden extraerse de los gráficos de posición y transcribirse a diagramas cartesianos como el representado en la figura. Es indudable que para obtener una buena precisión se ha de realizar un elevado número de posiciones. MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

8 Análisis gráfico de posiciones. Mecanismos con un solo bucle.
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

9 Análisis gráfico de posiciones. Mecanismos con varios bucles.
En la práctica, en numerosas ocasiones, se presentan mecanismos compuestos por más de una cadena cinemática formando varios bucles. En la figura se representa uno de estos mecanismos. En este ejemplo el bucle 1 lo constituye un mecanismo de cuatro eslabones mientras que el bucle 2 está formado por un mecanismo biela-manivela. Suponiendo que la variable de entrada es la coordenada q, posición angular del eslabón 1, para realizar el cálculo de posiciones se procederá como se ha visto anteriormente con la siguiente particularidad: el valor de la variable de entrada del segundo bucle, la posición angular del eslabón 3, quedará determinado al resolver el problema de posición del primer bucle. MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

10 Análisis numérico de posiciones. Ecuación vectorial de bucle cerrado.
En la figura se muestra una representación de un mecanismo de biela-manivela. Con independencia de la posición en la que se represente dicho mecanismo (que será siempre función de la variable de entrada q), se puede plantear la siguiente ecuación vectorial: Que no es sino una forma vectorial de constatar el condicionante geométrico que tiene que cumplir la cadena cinemática del mecanismo para todas y cada una de la posiciones, donde cada vector está asociado a un eslabón y queda definido por los puntos (pares cinemáticos) por los que dicho eslabón se une a los demás. A esta ecuación, que define en cada momento la posición del mecanismo, se la denominará en lo sucesivo ecuación de bucle cerrado, al obtenerse siempre una suma vectorial cuyo resultado es nulo. X Y L1 L3 L2 MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

11 Análisis numérico de posiciones.
X Y L1 L3 a3 L2 q a2 Ecuación de bucle cerrado: La ecuación de posición (bucle cerrado) por componentes es: Donde q es conocido, L1, L2 y a3 dependen de la geometría del mecanismo, y a2 y L3 son variables a determinar. Las ecuaciones de posición forman un sistema no lineal de 2 ecuaciones con dos incógnitas. MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

12 Análisis numérico de posiciones.
Plantear las ecuaciones de posición de los siguientes mecanismos (mecanismo de tres eslabones y mecanismo de cuatro eslabones). L a q C R O A B MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

13 Análisis numérico de posiciones.
Planteamiento general (Método de Newton-Raphson). Al plantear las ecuaciones de bucle cerrado se obtiene un sistema no lineal de n ecuaciones con n incógnitas del siguiente tipo: f1(x1, x2, , xn) = 0 f2(x1, x2, , xn) = 0 . .. fn(x1, x2, , xn) = 0 MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

14 Análisis numérico de posiciones.
que escrito de forma abreviada tendrá la forma: para la resolución del sistema por métodos de aproximaciones sucesivas, se supondrá conocida la aproximación p-ésima de una de las n raíces de la ecuación vectorial: por tanto la raíz exacta será: MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

15 Análisis numérico de posiciones.
Desarrollando la ecuación vectorial en potencias de e(p) y limitándose a los términos lineales: Donde es la matriz jacobiana del conjunto de funciones f1, f2, ….., fn, de las variables x1, x2, …….xn, que expresada en forma matricial tendrá la siguiente forma: MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

16 Análisis numérico de posiciones.
Suponiendo que la matriz Jacobiana no es singular (su determinante es diferente de cero): por lo tanto, el iterante de orden p+1 se obtendrá de: Siendo el iterante de orden cero un valor aproximado de la raíz deseada. MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

17 Análisis numérico de posiciones.
Estudio de posiciones singulares: puntos muertos. Al plantear la ec. de bucle cerrado para el mecanismo de la figura se obtiene: Siendo el determinante de la matriz Jacobiana (considerando L3 como variable primaria): Que será nulo cuando: (a2-a1) = k p para k = 1,2...., que se corresponderá con los puntos muertos del mecanismo. MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

18 Análisis numérico de posiciones.
Trayectorias de puntos del mecanismo. Una vez realizado el análisis de posición del mecanismo, esto es, calculados los valores de las variables secundarias conocidos los valores de la primaria, se procederá al estudio de las trayectorias descritas por diferentes puntos del mecanismo. MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

19 Análisis numérico de posiciones.
Trayectorias de puntos de definición del mecanismo: pares. Caso 1: El eslabón al que pertenece el punto está unido a la bancada: MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

20 Análisis numérico de posiciones.
Trayectorias de puntos de definición del mecanismo: pares. Caso 2: El eslabón al que pertenece el punto NO está unido a la bancada: MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.

21 Análisis numérico de posiciones.
Trayectorias de puntos asociados a un eslabón. Cálculo de la trayectoria del punto P (asociado al eslabón i), de coordenadas locales (up, vp). MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.