Práctica 2 La ecuación f(x)=0. v Problemas clásicos y modernos v Métodos Iterativos v Tipos de convergencia v Método del Punto Fijo v Método de Bisección.

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1 Práctica 2 La ecuación f(x)=0

2 v Problemas clásicos y modernos v Métodos Iterativos v Tipos de convergencia v Método del Punto Fijo v Método de Bisección v Regula-Falsi v Archivos de Función v Entradas y salidas v Bucles: WHILE v Bifurcaciones Condicionales IF v Comparaciones y operaciones lógicas

3 Un problema clásico v La duplicación del cubo 2 x Apolo quería, en el templo dedicado a él en Delfos, un altar cúbico de volumen doble al del altar del templo de Atenea... x 3 = 2

4 Un problema moderno v La amortización de un préstamo Para comprarte un coche, pides un préstamo de un millón a 5 años. Lo devuelves pagando 20.000 Pts. al mes. ¿Qué interés te han aplicado? C = 1.000.000a = 20.000 n = 5*12 = 60r = 1 + i (i=tanto por uno) a = C.i.r n /(r n –1) a = C.i.r n /(r n –1)

5 Archivos.m v Contienen órdenes de MATLAB. v Se invocan desde la ventana de órdenes, o desde otro archivo.m. v Se editan y graban como ficheros ASCII. v Extienden las funciones definidas en MATLAB.

6 Archivos.m de Función function [dif,pago] = plazo(C,n,a,i) Palabra clave Nombre de función Argumentos de entrada Argumentos de salida plazo CnaiCnaiCnaiCnai difpago

7 Métodos Iterativos para la ecuación f(x) = 0 v Estimación inicial  x 1 tal que f(x 1 )  0 v Proceso iterativo u x 2, x 3,..., x k,...  x * : f(x * ) = 0 v Criterio de parada  |x k+1  x k | < tol ó |f(x k )| < tol u k  maxiter

8 Tipos de convergencia v Error del paso k  e k = |x k+1  x k | v Convergencia lineal u e k+1 / e k  cte v Convergencia cuadrática u e k+1 / e k 2  cte

9 Método del Punto Fijo ¶ Transformar la ecuación f(x) = 0 en una ecuación equivalente de punto fijo: x = g(x). ¸ Tomar una estimación inicial x 1 de la solución. · Para k = 1, 2, 3, … hasta que converja, iterar x k+1 = g(x k )

10 La instrucción WHILE v Bucle controlado por una condición v Sintaxis: while condición instrucciones instruccionesend v Las instrucciones se repiten mientras la condición se verifique.

11 La instrucción IF v Bifurcación condicional v Sintaxis: if condición instrucciones instruccionesend v Las instrucciones se realizan si la condición se verifica.

12 IF - ELSE v Dilema if condición instrucciones cierta instrucciones ciertaelse instrucciones falsa instrucciones falsaend v Se ejecutan unas u otras instrucciones según se verifique o no la condición.

13 Comparaciones y operaciones lógicas v Operaciones lógicas u Conjunción& u Disyunción| u O exclusivaxor u Negación~ v Comparaciones u Menor< u Mayor > u Mayor o igual >= u Menor o igual <= u Igual== u Distinto ~=

14 Archivo pfijo.m v Encabezado  Definir parámetros de entrada y salida v Preparación u Inicializar variables v Proceso u Hallar nueva estimación de la solución u Actualizar variables para el paso siguiente v Salida u Advertir en caso de no convergencia

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16 Teorema de Punto Fijo 

17 Método de Bisección ¶ Determinar un intervalo [a,b] tal que f(a) tenga distinto signo que f(b). · Hallar el punto medio c del intervalo. ¸ Elegir, entre [a,c] y [c,b], un intervalo en el que la función cambie de signo. ¹ Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir un intervalo con la precisión deseada.

18 Convergencia del método de Bisección  El error máximo se divide por 2 en cada paso. Cota de la raíz: (b  a)/2 k. Cota de la raíz: (b  a)/2 k.  La aproximación obtenida puede ser peor que la del paso anterior.