7 Derivadas de una función en un punto.
Habilidades Describe con sus palabras el concepto de derivada. Interpreta geométricamente la derivada. Define la derivada de una función en un punto. Interpreta la derivada como una razón de cambio.
La Pendiente de una Curva ¿Una curva tiene pendiente? Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta) a la curva. ¿y cuál es esta recta?
El problema de la recta tangente x y Q x y = f(x) a P Pendiente de la recta secante:
El problema de la recta tangente y Q y = f(x) P a x x Pendiente de la recta secante:
El problema de la recta tangente y Q y = f(x) P a x x Pendiente de la recta secante:
El problema de la recta tangente y y = f(x) Q P a x x Pendiente de la recta secante:
El problema de la recta tangente y y = f(x) Q P a x x Pendiente de la recta secante:
El problema de la recta tangente y y = f(x) P a x Pendiente de la recta tangente:
La recta tangente Definición: La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P con pendiente: siempre que exista este límite. Haciendo h=x - a, luego h tiende hacia 0, cuando x tiende hacia a. Es decir, la pendiente de la recta tangente también se puede calcular como: Observación:
El problema de la velocidad instantánea s(a) t = a s(a + h) t = a + h s o Velocidad media en (a, a + h):
El problema de la velocidad instantánea t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):
El problema de la velocidad instantánea t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):
El problema de la velocidad instantánea t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):
El problema de la velocidad instantánea t = a + h o s s(a) s(a + h) Velocidad media en (a, a + h):
El problema de la velocidad instantánea s(a) Velocidad instantánea en t = a:
La velocidad instantánea Definición: La velocidad instantánea v(a) en el instante t = a se define como el límite de las velocidades medias: siempre que exista este límite.
Definición: La derivada de f en el número a, denotada como f ’(a) se define como: si el límite existe. 1. Si existe la derivada f ’(a), se dice que f es derivable en a. 2. Si no existe la derivada f ’(a), se dice que f no es derivable en a. 3. La derivada de una función es un límite. 4. Para hallar el límite se requiere que la función sea continua en el punto. Observación:
Interpretaciones de la derivada Geométrica: Pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto de abscisa a. Mecánica: Velocidad de una partícula cuya posición viene dada por y = s(t) en el instante t = a. General: Razón instantánea de cambio de y = f(x) con respecto a x cuando x = a.
Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Sección 2.7. Pág. 143 - 153. Ejercicios2.7 Pág. 151 - 152: 14, 39, 41, 43, 49. 17, 18, 19 y 20.