Santiago, 07 de septiembre del 2013 PROGRAMA EMPRENDER PREUNIVERSITARIO ALUMNOS UC PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MATEMÁTICAS II MEDIO Santiago, 07 de septiembre del 2013
Ecuación de la recta Sabiendo que p = (a, a+2 ) pertenece a la recta de ecuación 2x + 3y - 1 = 0, Calcular las coordenadas de dicho punto.
Ecuación de la recta ¿Cuál es la posición de la recta R de ecuación 6x + 4y = 0 en relación con recta S de ecuación 9x + 6y – 1 = 0?
Distancia entre dos puntos Problema: calcular la distancia entre los puntos A(2, 3) y B (5, 7). Tenemos el siguiente gráfico: Y B 7 - 4 3 - A P 3 2 5 X
Distancia entre dos puntos Según este gráfico podemos observar que el segmento corresponde a la hipotenusa del triángulo APB, siendo (5,3) las coordenadas del punto P. Aplicando Pitágoras tendremos:
Distancia entre dos puntos Respuesta: la distancia entre los puntos A y B es 5 unidades.
Distancia entre dos puntos En general, para calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2), utilizamos, igual que en el problema anterior, el teorema de Pitágoras: Y P2 y2 - d y2-y1 y1 - P1 Q x2-x1 x1 x2 X
Distancia entre dos puntos En ∆P1QP2, rectángulo en Q: “Fórmula para la distancia entre dos puntos”
Distancia entre dos puntos Ejercicio: Demuestre que el triángulo con vértices en los puntos A(2, 8), B(0, 3) y C(7, 6) es isósceles.
Coordenadas del punto medio Determinemos las coordenadas del punto medio del trazo de extremos en P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2). Llamaremos M al punto buscado y supongamos que sus coordenadas son (x, y).
Coordenadas del punto medio Si observamos la figura podremos darnos cuenta de que los triángulos P1PM y MQP2 son congruentes: Y P2 y2 - M y - Q x-x2 y1 - P1 P x-x1 x1 x x2 X
Coordenadas del punto medio Entonces, se verifica que: x – x1 = x – x2 Resolviendo la ecuación anterior para la incógnita x:
Coordenadas del punto medio Análogamente, Entonces “Coordenadas del punto medio”
Coordenadas del punto medio Ejercicio: Demuestre que el cuadrilátero con vértices en los puntos A(1, 2), B(4, 4), C(5, 9) y D(2, 7) es un paralelógramo.