Análisis de Sistemas Lineales “Discretización de Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales” Ing. Rafael A. Díaz Chacón ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Representación General t = kT Ecuación en Diferencias Ecuación Diferencial Discretización ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial de Primer Orden (Método de Euler) ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial de Primer Orden (ejemplo) Evaluando para x(t) = u(t) y T = 1, queda ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial de Primer Orden (ejemplo) k v(k) u(k) ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial de Primer Orden (ejemplo) v(k) x(k) ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (Método de Euler) ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (ejemplo) ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (ejemplo) y[k] x[k]=d[k] Respuesta a un impulso ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (ejemplo) y[k] Respuesta a un escalón ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (ejemplo) y[k] x[k] Respuesta a un pulso rectangular ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden (Método de Euler) ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden (Método de Euler) ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden (Método de Euler) ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden (ejemplo) Sea un circuito RLC serie donde la entrada es la tensión v(t) y la salida es la tensión sobre el condensador vc(t), la ecuación diferencial de este sistema será Los parámetros de este sistema serán R=2, L=C=1, vc(0)=1, v’c(0)=-1, v(t)=sin(t)*u(t) ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden (ejemplo) La solución exacta de la ecuación diferencial anterior es vc(t) = 0.5[(3 + t)e-t - cos(t)]*u(t) La ecuación recursiva resultante será y[kT+2T] = T2x[kT]-2(T-1)y[kT+T]-(1-2T+T2)y[kT] con las condiciones iniciales y[0] = y(0) = 1, y[T] = y(0)+Ty’(0) = 1 - T ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden (ejemplo) Comparación gráfica para T = 0.2 Señal de Entrada Solución exacta Aproximación con T=0.2 ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden (ejemplo) Comparación gráfica para T = 0.1 Señal de Entrada Solución exacta Aproximación con T=0.1 ASL/RAD/2001
Discretización de Ecuaciones Diferenciales Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes para distintos valores de T y compare con el resultado exacto ecuación y(0) y’(0) y’’(t) + 6y’(t)+25y = 50 4 2 y’’(t) + 10y’(t)+24y = 50e-2t cos(3t) 4 1 y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6 2 5 y’’(t) + 8y’(t)+165y = 6e-2t 1 y’’(t) + 8y’(t)+25y = 6 sin(2t) 1 ASL/RAD/2001