Límite de una función en un punto 1 Límites Límite de una función en un punto Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Habilidades Explica con sus palabras e ilustrar mediante gráficas, el concepto de límite de una función en un punto y el concepto de límite infinito en un punto. Explica la utilidad de los límites laterales para analizar el comportamiento límite de algunas funciones. Grafica funciones que satisfagan condiciones dadas en cuanto a valores límites y, viceversa, expresar mediante enunciados de límites el comportamiento de una función dada por su gráfica. Explica el concepto de asíntota vertical e ilustrar gráficamente los casos que se pueden presentar.

Problema Problema: Solución: El volumen de un cilindro es r2h. ¿Cómo podría obtenerse, a partir de aquí, el volumen de un cono? i = 1 Solución: h r i = 2 i = 3 i = n - 1

Recta Tangente ¿Cómo determinar la ecuación de la recta tangente a la curva ; que pasa por el punto P(1;1)? x y

Advierta la frase “pero x = a” para la existencia del límite / a x (a) a x (b) L a x (c)

Definición de límite Sea f una función definida en un intervalo abierto alrededor de a (no necesariamente en a). Escribimos: y decimos “el límite de f(x) cuando x tiende hacia a, es igual a L” si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a, pero no igual a a. x y a L x f(x) x f(x) Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo Analizar el comportamiento de la función: cuando x tiende hacia 1 y cuando x tiende hacia 2 f(0,9) = - 10 f(1,1) = 10 f(0,95) = - 20 f(1,05) = 20 f(0,99) = - 100 f(1,01) = 100 f(0,999) = - 1000 f(1,001) = 1000 f(1,9) = 1,111… f(2,1) = 0,9090… f(1,95) = 1,0526 f(2,05) = 0,9524 f(1,99) = 1,0101 f(2,01) = 0,9901 f(1,999) = 1,0010 f(2,001) = 0,9990 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Límite lateral derecho Sea f definida en (a, c). Escribimos: y decimos “el límite de f(x) cuando x tiende hacia a desde la derecha, es igual a L” si podemos aproximar arbitrariamente los valores de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a, pero mayores que a. a L x y x f(x) Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Límite lateral izquierdo Sea f definida en (c, a). Escribimos: y decimos “el límite de f(x) cuando x tiende hacia a desde la izquierda, es igual a L” si podemos aproximar arbitrariamente los valores de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a, pero menores que a. a L x y x f(x) Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo A continuación se muestra la gráfica de una función g. Úsela para definir los valores, en caso de existir, de:

Unicidad del límite Si el límite de f(x) cuando x tiende hacia a existe, entonces es único. si y solo si a L x y a x y no existe Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Límite infinito Los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como se quiera para todos los x lo suficientemente cerca de a, pero distintos de a. a x y x f(x) x f(x) Similarmente Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Asíntotas verticales Cuando uno ó ambos límites laterales de f(x) es ∞ ó -∞ para x tendiendo hacia a, se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x). x f(x) 2 -1 x = 2 Asíntota vertical. Asíntota vertical. x = -1 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Secciones 2.1 y 2.2 Páginas: 83 - 99