ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES BIAXIALES.

1. Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo

Esfuerzos principales Son los mayores esfuerzos que actúan sobre un elemento y se hallan por medio de una rotación de coordenadas. Los planos sobre los cuales estas fuerzas principales actúan se conocen como planos principales. La dirección de las normales de superficie a los planos principales se conocen como ejes principales y los esfuerzos normales que actúan en estas direcciones se conocen como esfuerzos normales principales. Los esfuerzos cortantes principales actúan sobre un conjunto o sistema de planos que están a 45º en relación con los planos de los esfuerzos normales principales. 3

Esfuerzos principales La expresión que relaciona los esfuerzos aplicados con los esfuerzos principales en el caso tridimensional es: Los esfuerzos principales son las tres raices. El esfuerzo cortante máximo absoluto es: 4

Esfuerzos principales Para el caso bidimensional, los valores del tensor de esfuerzos se hallan con Resolviendo la ecuación cuadrática: Y σ2 = 0. El esfuerzo cortante máximo absoluto es: Los esfuerzos principales σ1 , σ3 se hallan 5

Esfuerzo cortante máximo Siempre da predicciones seguras, se utiliza únicamente para predecir fluencia y, por lo tanto, se aplica solo a los materiales dúctiles. Esta teoría afirma que el fallo (por fluencia) empieza cuando, en un elemento mecánico, el esfuerzo cortante máximo llega a ser igual al esfuerzo cortante máximo en una probeta a tensión, cuando este espécimen empieza a ceder. Así, en el caso de tensión pura de un espécimen normalizado para el ensayo de tensión 6

Esfuerzo cortante máximo. S = define la orientación de los planos de esfuerzo cortante máximo. Los valores máximo y mínimo ocurren en planos perpendicu- lares, y estos son iguales de valor absoluto. Los planos de esfuerzo cortante máximo ocurren a 45° de los planos principales 7

Esfuerzo cortante máximo El esfuerzo cortante máximo se obtiene al sustituir El esfuerzo cortante máximo es igual s la mitad de la diferencia de los esfuerzos principales. 8

2. Circulo de Mohr

Es una interpretanción grafica del estado de esfuerzo en un cuerpo. Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones 10

Circulo de Mohr: Aplicaciones – Para dos dimensiones: En un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy, de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. 11

Circulo de Mohr: Aplicaciones Conociendo el estado de carga para una cierta terna de ejes se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado.. 12

Circulo de Mohr: Aplicaciones - Para estados tensionales tri – dimensionales: Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cuál adoptamos como nuestro origen de coordenadas, y la cuarta cara es un plano oblicuo. Supongamos que elegimos los ejes coordenados de modo que estos son los principales (ejes principales: aquellos en donde la tensión normal de las caras es máxima o nula y el corte nulo). El tensor de tensiones en ese caso para un elemento cúbico será: 13

Circulo de Mohr: Aplicaciones. Estas tres ecuaciones generan tres circunfe- rencias en el plano y son las ecuaciones que definen los círculos de Mohr para un estado tridimensional de tensiones, las circunferen- cias son simétricas respecto del eje de orde- nadas y las tensiones principales se ubican en el eje de ordenadas. Las desigualdades de esta indican el conjunto de estados tensionales posibles en ese punto para distintos planos, con distintas inclinaciones. 14

Circulo de Mohr: Aplicaciones. Una grafica a modo de ejemplo se presenta a continuación 15

Circulo de Mohr: Aplicaciones. - Caso particular: Existe un caso en donde las tensiones principales son iguales en módulo, este caso se denomina de tensiones hidroestáticas, en éste, el círculo de Mohr se representa por un punto. Se llama así porque este caso se da cuando por ejemplo un objeto cúbico diferencial se sumerge en un líquido, sus seis caras están sometidas a la misma tensión y esta es normal a todas las caras, no importa la inclinación de este objeto, las tensiones siempre serán normales. 16

3. Ley de Hooke para esfuerzos planos

Ley de Hooke para esfuerzo plano El vector de esfuerzo se reduce a las tres componentes presentes en uno de los planos del cubo de esfuerzo, por ejemplo para el caso del plano xy.. 18

Ley de Hooke para esfuerzo plano. Entonces la expresion tridimensional se reduce a: 19