Estados Planos de Tensión Circunferencia de Mohr

Presentación del tema: "Estados Planos de Tensión Circunferencia de Mohr"— Transcripción de la presentación:

1 Estados Planos de Tensión Circunferencia de Mohr
Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2 Para el estado tensional dado en la figura es de nuestro interés:
x y z tXY sX sy tYX Construir la circunferencia de Mohr y mediante ella determinar: Las magnitudes y dirección de las tensiones principales (s1 ; s2 ; s3) Las componentes de tensión en un plano que forma un ángulo  con el eje x. Son datos del problema: sX ; sY ; sZ=0 ; tXY=tYX ; tXZ=tZX =tZY=tYZ =0; Para el estado tensional dado en la figura es de nuestro interés:

3 La determinación de las tensiones puede obtenerse utilizando un método gráfico. Las ecuaciones del Estado Plano de Tensiones son: elevando al cuadrado, sumando y simplificando obtenemos: si llamamos y sustituimos en la ecuación anterior obtenemos: que constituye la ecuación de una circunferencia de radio R y centro en un punto “C” de coordenadas xC e yC = 0. Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr. las coordenadas de cada punto de esta circunferencia representan las tensiones  y  trazadas a cada uno de los infinitos planos que pasan por el punto. Un estado tensional plano o bidimensional, es aquel en el que uno de los planos está libre de tensiones

4 Procedemos al trazado del círculo de Mohr
Se considera positiva la tensión normal de tracción y negativa de compresión. La tensión tangencial es positiva si el momento respecto del centro del elemento es en sentido horario. Procedemos al trazado del círculo de Mohr

5 Procedemos al trazado del círculo de Mohr
N Defino el punto N tYX sX sY tXY M Defino el punto M Sobre un sistema de ejes coordenados  -  se ubican los puntos de coordenadas (x;xy) y (y;yx) estos puntos representan las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre las caras X e Y de un elemento. Procedemos al trazado del círculo de Mohr

6 Procedemos al trazado del círculo de Mohr
sX tXY M tYX sY N B A Defino los puntos A y B Círculo de Mohr C Uniendo M con N donde corta al eje de abscisas tenemos el centro C. Con radio CM se traza la circunferencia Mohr. Procedemos al trazado del círculo de Mohr

7 Definimos la Tensiones y Direcciones Principales
sX tXY M tYX sY N B A s3 = 0 s2= =s1 Los puntos A y B donde la circunferencia intercepta al eje de abscisas determinan las tensiones normales principales. La tercera tensión normal principal corresponde a s3=0 Definimos la Tensiones y Direcciones Principales

8 Definimos la Tensiones y Direcciones Principales
sX tXY M tYX sY N B A s2= =s1 s3 = 0 // a t por N P Polo // a s por M Trazando por M, de coordenadas (X;XY), una paralela al eje s y por N, de coordenadas (Y;YX), una paralela al eje t, defino el polo P del círculo de Mohr. Definimos la Tensiones y Direcciones Principales

9 Definimos la Tensiones y Direcciones Principales
sX tXY M tYX sY N B A s2= =s1 s3 = 0 P dirección ppal 2 dirección ppal 1 2q q+½p q Determinado P, se lo une con A y B, siendo sus trazadas las direcciones de las tensiones principales de valor q y q+½p. Los planos principales serán perpendiculares a estas direcciones. Definimos la Tensiones y Direcciones Principales

10 Cálculo de las Tensiones respecto a una dirección “a” dada
sX tXY M tYX sY N B A s2= =s1 s3 = 0 P q 2q a D ta sa q+½p Si dada la dirección (u) queremos conocer las tensiones según ella, trazamos por P una paralela a u que corta a la circunferencia en D; la abscisa y ordenada de D nos dan a, y  a. Cálculo de las Tensiones respecto a una dirección “a” dada

11 Cálculo de los esfuerzos Cortantes Principales
Trazo las tg a la circunferencia C t s sX tXY M tYX sY N B A s2= =s1 s3 = 0 P q 2q Graficamos las otras dos familias de circunferencias de Mohr tMax tMin q+½p Siempre es el círculo que está entre los esfuerzos principales mayor y menor el que determina el esfuerzo cortante máximo. En este caso, el esfuerzo principal igual a cero es el menor s3=0 Cálculo de los esfuerzos Cortantes Principales

12 Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

13 Muchas Gracias