Ecuaciones y Teoremas de la Elasticidad. Ecuaciones diferenciales de Equilibrio.

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1 Ecuaciones y Teoremas de la Elasticidad. Ecuaciones diferenciales de Equilibrio

2 Se estudian los conceptos básicos de la teoría formal de la elasticidad tal cómo esfuerzos, deformaciones, ley de Hooke, relación de Poisson, entre otros. Se muestra como cualquier problema de elasticidad plana puede ser reducido a un problema de ecuaciones diferenciales parciales. Los conceptos introducidos son aplicados en la solución de un problema clásico en mecánica de materiales: viga en cantiléver sometida a una carga puntual en el extremo libre.

3 INTRODUCCIÓN Los fundamentos básicos del diseño estructural.Y de elementos de máquina son estudiados por la mecánica de materiales. Libros de mecánica de materiales básicos se enfocan en la solución ele algunos problemas particulares haciendo generalmente una gran cantidad de suposiciones y simplificaciones.

4 x y z  nx  xy  xz  xy  yx  ny  yz  nz  zy  zx TEORÍA FORMAL DE ELASTICIDAD COMPONENTES DE ESFUERZO  xy  yx  yz  zy  xz  zx

5 x y z  nx  xy  xz  yx  ny  yz  nz  zy  zx

6 Las componentes de tensión en un sólido generalmente varían de un punto a otro. En un caso bidimensional, las tensiones actuantes en un elemento diferencial de caras “dx” y “dy” y de espesor unidad son las siguientes:

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8 PARA QUE EXISTA EQUILIBRIO DEBE CUMPLIR Tomando momentos respecto a O, las tensiones normales y las fuerzas de masa dan momentos nulos. Se tiene:

9 Por tanto, despreciando los términos infinitesimales de tercer orden:

10 Si ahora se hace, se tiene:

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