Hallar la Familia de Curvas 𝑦 4 = 𝐶 2 ( 𝑥 2 +4 𝑦 2 )……….(1) Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto a la variable x 4 𝑦 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐶 2 2𝑥+8𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ………..(2) Despejando 𝐶 2 De la ecuación (1), y reemplazando en la ecuación (2) 𝐶 2 = 𝑦 4 𝑥 2 +4 𝑦 2 4 𝑦 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 4 𝑥 2 +4 𝑦 2 2𝑥+8𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Ordenando 4 𝑦 3 𝑥 2 +4 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =2𝑥 𝑦 4 +8 𝑦 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Factor izando 4 𝑥 2 𝑦 3 +16 𝑦 5 −8 𝑦 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =2𝑥 𝑦 4 Simplificando 4 𝑦 3 𝑥 2 +2 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =2𝑥 𝑦 4 Simplificando nuevamente

2 𝑥 2 +4 𝑦 2 𝑦 ′ =𝑥𝑦……(𝐴) 𝑦 ′ =− 1 𝑦′ Condición de Ortogonalidad Reemplazando la condición en la ecuación (A) −2 𝑥 2 +4 𝑦 2 1 𝑦′ =𝑥𝑦 −2 𝑥 2 +4 𝑦 2 =𝑥𝑦 𝑦 ′ ………….(𝐵) La última expresión es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden Homogéneo , por tanto haciendo un cambio de variable obtenemos . 𝑦=𝑢𝑥 𝑦 ′ =𝑥 𝑢 ′ +𝑢 Reemplazando el cambio de variable en la ecuación (B) −2 𝑥 2 +4 𝑢𝑥 2 =𝑥(𝑥𝑢)(𝑥 𝑢 ′ +𝑢) −2 𝑥 2 +4 𝑥 2 𝑢 2 = 𝑥 2 𝑢(𝑥 𝑢 ′ +𝑢) −2 𝑥 2 1+4 𝑢 2 = 𝑥 2 𝑢(𝑥 𝑢 ′ +𝑢) Simplificando m/m −2−8 𝑢 2 =𝑥𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑢 2 − 2+9 𝑢 2 =𝑥𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Separando Variables − 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑢 9 𝑢 2 +2 𝑑𝑢

− 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑢 9 𝑢 2 +2 𝑑𝑢 + 𝐶 1 Integrando m/m −𝑙𝑛𝑥= 1 18 ln 9 𝑢 2 +2 +𝑙𝑛 𝐶 1 Multiplicando por 18 m/m −18𝑙𝑛𝑥= ln 9 𝑢 2 +2 +18𝑙𝑛 𝐶 1 𝑙𝑛 𝑥 −18 =ln⁡( 𝐶 2 (9 𝑢 2 +2)) Simplificando logaritmos 𝑥 −18 = 𝐶 2 (9 𝑢 2 +2) 𝑥 18 = 𝐶 3 1 9 𝑢 2 +2 𝑢= 𝑦 𝑥 Pero 𝑥 18 = 𝐶 3 1 9 𝑦 2 𝑥 2 +2 𝑥 16 = 𝐶 3 1 9 𝑦 2 +2 𝑥 2 S.G.

2. Resolver 𝑝 2 𝑥 4 =𝑦+𝑝𝑥 𝑦=−𝑝𝑥+ 𝑝 2 𝑥 4 Ecuación de Lagrange 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝑥 𝑑𝑝 𝑑𝑥 +𝑝 + 2𝑥 4 𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑥 + 4𝑝 2 𝑥 3 𝑝=−𝑥 𝑑𝑝 𝑑𝑥 −𝑝+ 2𝑥 4 𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑥 + 4𝑝 2 𝑥 3 2𝑝−4 𝑝 2 𝑥 3 =(2 𝑥 4 𝑝−𝑥) 𝑑𝑝 𝑑𝑥 −2𝑝 2𝑝 𝑥 3 −1 =𝑥(2𝑝 𝑥 3 −1) 𝑑𝑝 𝑑𝑥 Simplificando −2𝑝=𝑥 𝑑𝑝 𝑑𝑥 Separando Variables − 2 𝑥 𝑑𝑥= 1 𝑝 𝑑𝑝 Integrando m/m

− 2 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑝 𝑑𝑝 +𝐶 𝑙𝑛 𝑥 −2 =𝑙𝑛𝑝𝐶 −2𝑙𝑛𝑥=𝑙𝑛𝑝+𝑙𝑛𝐶 𝑥 −2 =𝑝𝐶 𝑝= 1 𝐶 𝑥 2 Reemplazando el resultado en nuestro problema: 𝑦=−𝑝𝑥+ 𝑝 2 𝑥 4 𝑦=−𝑥 1 𝐶 𝑥 2 + 1 𝐶 2 𝑥 4 𝑥 4 𝑦=− 1 𝐶𝑥 + 1 𝐶 2 S.G.

3. Resolver 𝑥= 𝑦 𝑝 + 𝑝 2 Multiplicando por p m/m 𝑦=𝑥𝑝− 𝑝 3 Ecuación de Clairaut Toda ecuación de Clairaut tiene 2 soluciones Una Solución Singular y Una Solución General Solución General : Es simplemente hacer 𝑝=𝐶 y debe reemplazarse en la Ecuación de Clairaut, por tanto: 𝑦=𝑥𝐶− 𝐶 3 Solución Singular: En la S.S. simplemente debe derivarse parcialmente En la ecuación de Clairaut, por tanto: 0=𝑥−3 𝑝 2 Despejando p en función de x 𝑝 2 = 𝑥 3 Este resultado debe ser reemplazado en la ecuación de Clairaut 𝑦=𝑥𝑝− 𝑝 3 𝑦=𝑥𝑝− 𝑝 2 𝑝=𝑝 𝑥− 𝑝 2 =𝑝(𝑥− 𝑥 3 )

𝑦=𝑝 2𝑥 3 Elevando al cuadrado m/m obtenemos 𝑝 2 = 𝑥 3 𝑦 2 = 𝑝 2 4 𝑥 2 9 Reemplazando nuevamente 𝑦 2 = 𝑥 3 4 𝑥 2 9 𝑦 2 = 4 𝑥 3 27 S.S.

4. Resolver: 𝐷 5 + 𝐷 4 −7 𝐷 3 −11 𝐷 2 −8𝐷−12 𝑦=0 Ecuación Característica 𝐷 5 + 𝐷 4 −7 𝐷 3 −11 𝐷 2 −8𝐷−12=0 Para hallar las raíces de un polinomio de grado 5, simplemente debe aplicarse El método de Rufinni, por tanto hallando las raíces encontramos: 𝐷+2 2 𝐷−3 𝐷 2 +1 =0 Si observamos detenidamente, la ultima expresión podemos afirmar que : Existen 2 raíces en -2 1 raíz en 3 Y 2 raíces de tipo complejo 𝐷 1 =−2 𝐷 3 =3 𝐷 2 =−2 𝐷 4,5 =±𝑖 Por último la solución Complementaria es: 𝑦= 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 2 𝑥 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 3 𝑒 3𝑥 + 𝐶 4 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝐶 5 𝑠𝑖𝑛𝑥

5. Resolver: 𝐷 3 + 𝐷 2 −4𝐷−4 𝑦=3 𝑒 −𝑥 −4𝑥−6 Este tipo de ecuación diferencial tiene 2 soluciones 𝑦 𝐺 = 𝑦 𝑐 + 𝑦 𝑝 Las raíces de la ecuación característica es: 𝐷+2 𝐷+2 𝐷+1 =0 Por tanto la Solución complementaria es: 𝑦 𝑐 = 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 2 𝑥 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 3 𝑒 −𝑥