INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Polinomios de Legendre Sea en el espacio prehilbertiano C([-1,1]), la sucesión de funciones L.I. : (1) Sea: (2) la sucesión ortogonal de funciones no nulas obtenida de la sucesión (1), por el procedimiento de Gram-Schmidt , de modo que :

Propiedades de los polinomios de Legendre Las relaciones anteriores muestran que pn es un polinomio de grado n en t con el coeficiente de t n igual a uno, e implican que pn es ortogonal a t m , para De acuerdo con las formulas de recurrencia del procedimiento de Gram-Schmidt se obtiene: Normalizando la sucesión anterior, se obtiene una sucesión ortonormal de polinomios: Donde es un polinomio de grado n ortogonal a

Demostración: Aplicando la fórmula de Leibnitz: se tiene que la función y sus derivadas de orden k < n se anulan en t=-1 y t=1 , de modo que integrando por partes, se tiene para m < n : Si se repite la integración por partes hasta que el exponente de t en la integral sea cero, en total m veces , se tiene:

Demostración:

Un polinomio de Legendre de grado n tiene n raices reales en el intervalo [-1,1] es un polinomio de grado 2n y tiene ceros múltiples en 1 y –1. su derivada tiene, por el teorema de Rolle un cero interior . Esta derivada primera también se anula en 1 y –1, lo que da tres ceros en total. Luego la derivada segunda tendrá dos ceros interiores por el teorema de Rolle, lo que da cuatro ceros en total. Continuando con éste razonamiento se llega a que la derivada de orden n tendrá n ceros en el interior del intervalo [-1,1] Pero dicha derivada es . Por el teorema anterior lo que demuestra que un polinomio de Legendre de grado n tiene n raices reales en el intervalo [-1,1].

Demostración: Expandiendo el polinomio en términos de polinomios de Legendre: Debido a que: Si por ser los polinomios de Legendre una base, lo que demuestra el teorema.

Polinomios osculadores Dada una función continua El polinomio tiene osculación de primer orden, si:

Fórmula de Hermite Es un polinomio de grado menor o igual a 2n+1, que satisface: siendo: polinomios de grado menor o igual a 2n+1

Propiedad de la fórmula de Hermite Llamando Li(x) al polinomio de Lagrange de grado i, se tiene: La demostración es inmediata a partir de que

Fórmula de error de Hermite Demostración tendrá por lo menos n+2 ceros en el intervalo tendrá n+1 ceros en puntos intermedios, mas n+1 en los extremos , o sea un total de 2n+2 ceros, por el teorema de Rolle su derivada 2n+2 tendrá un cero.

Si su derivada 2n+2 tiene un cero en el intervalo, podemos escribir que

El polinomio osculador es único Si hubiese otro q(x), se podría considerar como una aproximación de p(x), y de acuerdo con la fórmula anterior: Pero como p(x), es un polinomio de grado 2n+1, su derivada 2n+2 es nula, y

Integración Gaussiana La idea principal en la que se basa la integración gaussiana es la que en la elección de una fórmula de integración numérica utilizando un polinomio osculador: Puede ser beneficioso no imponer que los argumentos xi se encuentren igualmente espaciados, en los casos en que se conoce la expresión analítica de la función a integrar. Demostraremos que eligiendo los argumentos xi como ceros de una familia de polinomios ortogonales se tiene que todos los coeficientes Bi son nulos, y entonces:

Cambio del intervalo de integración Para simplificar el desarrollo, sin pérdida de generalidad del resultado, el intervalo de integración será cambiado de [a,b], a [-1,1], mediante un cambio de variable:

Expresión de los coeficientes Aproximando f(x) por el polinomio osculador p(x) , se tiene:

Demostración:

Demostración: Observación: Eligiendo los argumentos xi coincidiendo con las raices del polinomio de Legendre de grado n los coeficientes Bi serán nulos.

Demostración: Observación: Los Ai son números positivos

Demostración: es un polinomio de grado n-1, como máximo es un polinomio de grado n

Error de truncamiento Observación: Como es proporcional a la derivada de orden 2n de f(x), estas fórmulas son exactas para los polinomios de grado 2n-1 o menor. Calculando la última integral se tiene:

Valores de los parámetros 0,1012285363 0,2223810345 0,3137066459 0,3626837834 0,9602898565 0,7966664774 0,5255324099 0,1834346425 8 0,1294849662 0,2797053915 0,3818300505 0,4179591837 0,9491079123 0,7415311856 0,4058451514 7 0,1713244924 0,3607615730 0,4679139346 0,9324695142 0,6612093865 0,2386191861 6 0,2369268851 0,4786286705 0,5688888889 0,9061798459 0,5384693101 5 0,3478548451 0,6521451549 0,8611363116 0,3399810436 4 0,5555555556 0,8888888889 0,774596697 3 1 0,577350269 2 wi ±i n

Ejemplo: polinomio de 4º grado Supongamos el siguiente polinomio de 4º grado y su integración exacta I en el intervalo [-1,1]: Consideremos la integración mediante una cuadratura de 1er orden:

Ejemplo: polinomio de 4º grado Si utilizamos una cuadratura de 2do orden para la integración: Utilizando una cuadratura de 3er orden para la integración tendremos:

Ejemplo: polinomio de 4º grado Valor exacto!