Normas Vectoriales y Matriciales

Normas de vectores Una norma vectorial en R n es una función || · ||, de R n en R con las siguientes propiedades: (i) || x ||  0 para todo x  R n. (ii) || x || = 0 si y solo si x = (0,0,...,0) t  0. (iii) ||  x || = |  || x || para todo   R y x  R n. (iv) || x + y ||  || x || + || y || para todo x, y  R n.

Vector en R n El vector Se denotará por: x =(x 1, x 2,...,x n ) t

Norma l 1 La norma l 1 o norma euclidiana se define como x1x1 x2x2 (1,0) (0,-1) (0,1) (-1,0) Los vectores en R 2 con la norma l 2 menor o igual que 1 se encuentran en esta figura.

Norma l 2 La norma l 2 o norma euclidiana se define como x1x1 x2x2 (1,0) (0,-1) (0,1) (-1,0) Los vectores en R 2 con la norma l 2 menor o igual que 1 se encuentran en esta figura.

Norma l  La norma l  se define como x1x1 x2x2 (1,0) (0,-1) (0,1) (-1,0) Los vectores en R 2 con la norma l  menor o igual que 1 se encuentran en esta figura.

Normas Equivalentes x1x1 x2x2 (1,0) (0,-1) (0,1) (-1,0) x1x1 x2x2 (1,0) (0,-1) (0,1) (-1,0) x1x1 x2x2 (1,0) (0,-1) (0,1) (-1,0) x1x1 x2x2 (1,0) (0,-1) (0,1) (-1,0)

Ejemplo de equivalencia de normas vectoriales: Normas Equivalentes

Normas Vectoriales en MATLAB norm (V, p) Cálcula la norma l p del vector V. Si no hay segundo argumento, se supone p = 2.

Distancias Si x =(x 1, x 2,..., x n ) t y y =(y 1, y 2,..., y n ) t son vectores en R n, las distancias l 1, l 2 y l  entre x y y están definidas por

Ejemplo x x 2 – x 3 = x x x 3 = x x x 3 = Solución: x = (1.0000,1.0000,1.0000) t Con Gauss: x’ = (1.2001, , ) t ||x – x'||  = ||x – x'|| 2 =

Convergencia Se dice que una sucesión de vectores en R n converge a x respecto a la norma ||. || Si dado cualquier  > 0, existe un entero N(  ), tal que: || x (k) – x|| <  para todo k  N(  ) La sucesión {x (k) } converge a x con respecto a la norma ||. ||  si y solo si converge con respecto a la norma ||. || ∞ En consecuencia, Para cada k = 1, 2,..., n.

Norma matricial Una norma matricial sobre el conjunto de todas las matrices n x n es una función || · ||, definida en ese conjunto y que satisface para todas las matrices A, B de n x n y todos los números reales  : (i) || A ||  0 (ii) || A || = 0 si y solo si A es 0. (iii) ||  A || = |  || A || (iv) || A + B ||  || A || + || B || (v) || AB ||  || A || || B || Una distancia entre A y B es || A  B ||

Norma matricial Inducida Norma matricial l   Norma matricial l 2 : Norma matricial l 1 : Norma matricial ♦  EJEMPLOS 

Cálculo de la norma Inducida Norma l  se calcula con Norma l  se calcula con

Norma l 2 se calcula con Donde  A t A  es el radio espectral de la matriz A t A. El radio espectral de una matiz es el máximo de los valores de propios de la matriz. Para determinar los valores propios de A se determinan las raíces de: Cálculo de la norma Inducida

Ejemplo Lo que es equivalente a: – – 42 = 0 Resolviendo se encuentra: ||A|| 2 = 3.16

Propiedades de la norma Matricial inducida

Normas Matriciales en MATLAB norm (a, p) Computa la norm p de la matriz a. Si no hay segundo argumento, se supone p = 2. Si A es una matriz: p = 1, norma 1, la suma de la columna mayor de los valores absolutos de a. p = 2, El mayor valor propio de A. p = Inf, norma Infinita, la suma del renglón de los valores absolutos de A. p = "fro", la norma de Frobenius de A, sqrt (sum (diag (A t A))).