Física I Dr. Rogerio Enríquez Caldera (Graficas: Dr. Gustavo Rodríquez)

Vectores Definiciones Operaciones Básicas Componentes Vectores en 2D y 3D Magnitud Unidades Marcos de referencia

Notación Se empleará la siguiente notación: –La recta de los números reales es denotada por –El conjunto de los pares ordenados (x,y) es denotado por –El conjunto de las ternas ordenadas (x,y,z) es denotado por ℝ ³ ℝ ℝ²ℝ²

Vectores en 2D y 3D Los puntos P en el plano se representan por pares ordenados de números reales –(a 1, a 2 ) Los números a 1 y a 2 se llaman coordenadas cartesianas de P x y a1a1 a2a2 P = ( a 1, a 2 )

Vectores en 2D y 3D Los puntos P en el espacio se representan por ternas ordenadas de números reales –(a 1, a 2, a 3 ) Los números a 1, a 2 y a 3 se llaman coordenadas cartesianas de P x y a1a1 a3a3 P = (a 1,a 2,a 3 ) z a2a2

Representación geométrica del punto (2,4,4)

Vectores Vectores: segmentos de rectas dirigidos en el plano o el espacio con un inicio y un final Los segmentos de recta que se obtienen uno de otro por traslación representan el mismo vector

Suma Vectorial y Multiplicación por un Escalar Dadas dos ternas (a 1, a 2,a 3 ) y (b 1,b 2,b 3 ) definimos la suma vectorial como Dadas un escalar y un vector (a 1, a 2,a 3 ) definimos el producto escalar por medio de

Propiedades de los Vectores Elemento cero Inverso aditivo

Propiedades de la Suma y Multiplicación Escalar

Geométricamente los vectores son flechas que salen del origen

Los vectores son segmentos de recta dirigidos en [el plano o] el espacio representados por segmentos de recta dirigidos con un inicio (cola) y un final (punta). Los segmentos de recta que se obtienen uno de otro por traslación paralela (pero no rotación) representan el mismo vector. Las componentes (a 1,a 2,a 3 ) de a son las longitudes (dirigidas) de las proyecciones de a a lo largo de los tres ejes coordenados. La suma de dos vectores se obtiene colocándolos final con inicio y trazando el vector que va del inicio al final del segundo.

Vector Que Une Dos Puntos

El Vector Que Une Dos Puntos Si el punto P tiene coordenadas (x, y, z) y P’ tiene coordenadas (x’, y’, z’) entonces el vector PP’ de la punta de P a las punta de P’ tiene componentes

Distancia Dados dos vectores a = a 1 i+a 2 j+a 3 k y b = b 1 i+b 2 j+b 3 k, la distancia entre los puntos finales de a y b se define como x z a b

Suma de vectores (a) a a+b b b

Suma de Velocidades Una ave volando con velocidad v 1, velocidad el viento v 2. Velocidad resultante v 1 + v 2

Suma de Vectores (b)

Equivalencia Geométrica con Algebraica Equivalencia de la definición de suma vectorial en forma geométrica y algebraica.

Interpretación Geométrica Multiplicación Escalar por un Vector

Interpretación Geométrica de la Resta de Dos Vectores

Distancia Dados dos vectores a = a 1 i+a 2 j+a 3 k y b = b 1 i+b 2 j+b 3 k, la distancia entre los puntos finales de a y b se define como x z a b

Suma de los Vectores u + v y - 2u

Multiplicación de (-1,1,2) por -2

Base Canónica Existen tres vectores especiales a lo largo de los ejes x, y, z: –i: (1,0,0) –J: (0,1,0) –k: (0,0,1) Sea (a 1, a 2,a 3 ) entonces a = a 1 i+ a 2 j+ a 3 k x y z j i k

Base Canónica Representación del vector (2,3,2) en términos de la base canónica

Los Tres Planos Coordenados

Producto Interno Dados dos vectores a = a 1 i+a 2 j+a 3 k y b = b 1 i+b 2 j+b 3 k, el producto interno de a y b se define como Nótese que el producto interno es un escalar.

Producto Interno Propiedades del producto interno. Sean a, b, c vectores en ℝ ³ y números reales, entonces

Longitud Dado un vector a = a 1 i+a 2 j+a 3 k en ℝ ³ definimos su longitud como x y a1a1 a3a3 P = (a 1,a 2,a 3 ) z a2a2

Vectores Normalizados Dado el vector a = a 1 i + a 2 j + a 3 k diferente de cero, para normalizarlo forme el vector

Ejemplos Normalizar el vector v = 15i – 2j + 4k. Solución La normalización del vector v está dada por

Ejemplos Defina en el plano el vector Observe que es un vector Unitario.

Vectores Ortogonales Si a y b son vectores diferentes de cero y es el ángulo entre ellos. Entonces si y sólo si los vectores son ortogonales. Ejemplo –Los vectores de la base canónica i, j, k, son ortogonales entre si. –Los vectores y son ortogonales.

Vectores Ortonormales

B A 

B A cBcB

B A K B C Por tanto A = k B + C 

B A K B C Por tanto A = k B + C ¿Cómo despejar o reslover para k? 

Usemos lo que conocemos: i) Ortogonalidad o perpendicularidad ii) Producto punto

Por otro lado:

B A 

B A  K B cos (180 –  ) = cos 180 cos  + sen 180 sen  = cos 

B A 

B A  u u x A

Por tanto si A es unitario u B = || u || || B || cos  = B u Y por tanto si || B || solo escribimos B Bx = B cos  By = B sen  porqué  Y asi B = ux B cos  + uy B sen  = B ( ux cos  + uy sen  )

Ejemplos Calcule el angulo entre los vectores A = 2i + 3j – k y B = - i + j + 2k Solución: Usando

Reflexiones Ángulo en grados o en radianes Se mide con respecto a que? Ejemplo en el Planeta Tierra

Ejemplos Encuentre los angulos que forma el vector A = 2i + 3j + 2k con los ejes x & z Solución

Base Canónica Representación del vector (2,2,2) en términos de la base canónica

A x B No es conmutativa A x B = - B x A Es asociativa? Es distributiva ? | A x B | = A B sen 

Significado Físico?