CÁLCULO VECTORIAL VECTORES.

Presentación del tema: "CÁLCULO VECTORIAL VECTORES."— Transcripción de la presentación:

1 CÁLCULO VECTORIAL VECTORES

2 VECTORES CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES Definición de vector
Cantidades vectoriales ÁLGEBRA VECTORIAL Sistemas de referencia Igualdad entre vectores Múltiplos de un vector Adición de vectores Productos vectoriales

3 CANTIDADES ESCALARES ESCALAR
Cantidades que pueden caracterizarse exclusivamente con un número

4 CANTIDADES VECTORIALES

5 CANTIDADES VECTORIALES
Segmento de línea dirigido.

6 SISTEMAS DE REFERENCIA

7 SISTEMAS DE REFERENCIA
Sistema de referencia en una dimensión: Recta R 1

8 SISTEMAS DE REFERENCIA
Sistema de referencia n dimensiones: n Rectas R n

9 SISTEMAS DE REFERENCIA
Sistema de coordenadas rectangulares: Los ángulos entre los ejes coordenados son de 90°

10 SISTEMAS DE REFERENCIA
2 Dimensiones: R Coordenadas cartesianas 2

11 SISTEMAS DE REFERENCIA
2 Dimensiones: R Coordenadas polares 2

12 SISTEMAS DE REFERENCIA
Coordenadas Coordenadas polares cartesianas r = [x + y ] q = tan (y/x) 1/2 2 2 x = r cos q y = r sen q

13 SISTEMAS DE REFERENCIA
3 Dimensiones: R Coordenadas cartesianas 3

14 SISTEMAS DE REFERENCIA
3 Dimensiones: R Coordenadas cilíndricas 3

15 SISTEMAS DE REFERENCIA
3 Dimensiones: R Coordenadas esféricas 3

16 SISTEMAS DE REFERENCIA
Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas x = r cos q y = r sen q z = z r = [x + y ] q = tan (y/x) z = z 1/2 2 Coordenadas cartesianas Coordenadas esféricas r = [x + y + z ] q = tan (y/x) f = z / [x + y + z ] 2 2 2 1/2 x = r cos q sen F y = r sen q sen F z = r cos F 2 2 2 1/2

17 IGUALDAD A = B

18 PRODUCTO POR ESCALAR xA = B 2 A = B

19 PRODUCTO POR ESCALAR (-1) A = - A

20 PRODUCTO POR ESCALAR Propiedades x ( yA ) = (xy) A = xy A
(x + y) A = xA + yA 0A = 0 (-1)A = -A A / |A| = A

21 VECTORES UNITARIOS

22 VECTORES UNITARIOS

23 ADICIÓN DE VECTORES 5 - 8 = - 3

24 ADICIÓN DE VECTORES A B A + B

25 ADICIÓN DE VECTORES C = A + B 2 2 2 C = A + B – 2 AB cos a

26 ADICIÓN DE VECTORES A y B vectores base C = aA + bB

27 ADICIÓN DE VECTORES C = A – B = A + (– B)

28 ADICIÓN DE VECTORES Propiedades A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C) 0 + A = A A + -A = 0 x (A + B) = xB + xA

29 ADICIÓN DE VECTORES

30 ADICIÓN DE VECTORES 30

31 ADICIÓN DE VECTORES Ejercicio
Un cuadro que pesa 8 N se aguanta mediante dos cables que ejercen tensiones T1 y T2, tal como lo indica la figura. Determinar la tensión de los cables. 31

32 ADICIÓN DE VECTORES

33 ADICIÓN DE VECTORES

34 ADICIÓN DE VECTORES

35 ADICIÓN DE VECTORES

36 ADICIÓN DE VECTORES r = x i + y j + z k Vector de posición
Base canónica i, j, k A = Ax i + Ay j + Az k Suma por componentes B = Bx i + By j + Bz k A + B = (Ax+ Bx)i + (Ay+ By) j + (Az+ Bz) k C = Cx i + Cy j + Cz k

37 ADICIÓN DE VECTORES Ejercicio
Una partícula se desplaza en el plano XY de modo que sus coordenadas x y y varían con el tiempo según x(t)= At3 + Bt y y(t) = Ct2 + D, donde A = 1.00 m/s3, B = m/s, C = 5.0 m/s2 y D = 12.0 m. Calcule su posición a) t1 = 3 s, b) t2 = 5 s, c) el desplazamiento y c) la velocidad promedio durante ese intervalo de tiempo .

38 ADICIÓN DE VECTORES Ejercicio
Un avión se encuentra en la posición (3,4,5) dada en km, al medio día y viaja con una velocidad en km por hora. El piloto avista un aeropuerto en la posición (23,29,0). (a) ¿A qué hora pasará el avión sobre el aeropuerto? (b) ¿Cuál será la altura del avión cuando pase por el aeropuerto? v = 400 i j - k

39 ADICIÓN DE VECTORES

40 ADICIÓN DE VECTORES

41 PRODUCTOS VECTORIALES
A B = A veces B = B veces A

42 PRODUCTOS VECTORIALES
3 x 2 = 3 veces 2

43 PRODUCTOS VECTORIALES
3 x 2 = 2 x 3 = 2 veces 3

44 PRODUCTOS VECTORIALES
Producto Escalar Producto Punto Producto Interno . . A B = AB cos f = BA cos f = B A

45 PRODUCTOS VECTORIALES
Producto entre vectores unitarios i i = (1)(1) cos (0) = 1 . j j = (1)(1) cos (0) = 1 . k k = (1)(1) cos (0) = 1 . . i j = (1)(1) cos (p/2) = 0 j k = (1)(1) cos (p/2) = 0 . k i = (1)(1) cos (p/2) = 0 .

46 PRODUCTOS VECTORIALES
Producto escalar A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k A B = (Ax i + Ay j + Az k) (Bx i + By j + Bz k) (Ax i) (Bx i + By j + Bz k)+ (Ax j) (Bx i + By j + Bz k)+ (Ax k) (Bx i + By j + Bz k)

47 PRODUCTOS VECTORIALES
. A B = (Ax i) (Bx i) + (Ax i) (By j) + (Ax i) (Bz k)+ (Ay j) (Bx i) + (Ay j) (By j) + (Ay j) (Bz k)+ (Az k) (Bx i) + (Az k) (By j) + (Az k) (Bz k)+ = (Ax Bx) + (Ay By) + (Az Bz)

48 PRODUCTOS VECTORIALES
Propiedades A B = B A A (B + C) = A B + A C m (A B) = (m A) B = A (m B) = (A B) m A A = A = Ax + Ay + Az |A | = (A A) A B = 0 A B . 2 1/2

49 PRODUCTOS VECTORIALES
Producto Vectorial Producto Cruz A x B

50 PRODUCTOS VECTORIALES

51 PRODUCTOS VECTORIALES
A x B = AB sen f

52 PRODUCTOS VECTORIALES
Producto entre vectores unitarios i x i = (1)(1) sen (0) = 0 j x j = (1)(1) sen (0) = 0 k x k = (1)(1) sen (0) = 0 i x j = (1)(1) sen (p/2) = 1 j x k = (1)(1) sen (p/2) = 1 k x i = (1)(1) sen (p/2) = 1

53 PRODUCTOS VECTORIALES
Producto entre vectores unitarios i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0 j x i = - k i x j = k k x j = - i j x k = i i x k = - j k x i = j

54 PRODUCTOS VECTORIALES
A x B = (Ax i) x (Bx i) + (Ax i) x (By j) + (Ax i) x (Bz k)+ (Ay j) x (Bx i) + (Ay j) x (By j) + (Ay j) x (Bz k)+ (Az k) x (Bx i) + (Az k) x (By j) + (Az k) x (Bz k)+ = ¿?