UNITAT 3: NOMBRES ENTERS 1. Els nombres enters: definicions i comparació. 1.1. Valor absolut. 1.2. Oposat. 1.3 Representació en la recta numèrica. 1.4. Comparació de nombres enters. 2. Operacions amb nombres enters. 2.1. Suma i resta de nombres enters. 2.2. Combinació de sumes i restes d´enters. Parèntesis. 2.3 Multiplicació de nombres enters. 2.4 Divisió de nombres enters. 2.5 Propietat distributiva i extracció de factor comú. 2.6 Operacions combinades. 3. Potències de nombres enters 4. Arrels de radicand negatiu

1. NOMBRES ENTERS: DEFINICIONS I COMPARACIÓ Els nombres naturals no són suficients per descriure algunes situacions de la vida real. Per exemple, en un banc, no podríem distingir els clients que tenen diners al compte dels que en deuen. En un edifici confondríem les diferents plantes amb els soterranis si no els denotéssim de manera diferent. En un edifici, els soterranis per sota de la planta baixa: -1, -2, -3... En un banc, els deutes: -20€, -65€, -1256€... Els nombres enters engloben els naturals i, a més a més, els que anomenarem nombres negatius. Els nombres naturals que coneixíem fins ara passaran a ser nombres positius, perquè es podran escriure, com ja sabíem, amb un signe positiu davant. El 0 és la frontera entre els positius i els negatius, i no té signe. En un edifici, el 0 presenta la planta baixa i en un banc implica no tenir diners.

1.1. VALOR ABSOLUT El valor absolut d´un nombre enter és el nombre que resulta de treure´n el signe. -2 = 2 El valor absolut de -2 és 2. +6 = El valor absolut de +6 és 6. El valor absolut de 0 és 0. 0 =0

1.2. OPOSAT D´UN NOMBRE L´oposat d´un nombre enter és aquest nombre canviat de signe. op(+3)= -3 L´oposat de +3 és -3. op(-5)= +5 L´oposat de -5 és +5.

1.3. REPRESENTACIÓ EN LA RECTA NUMÈRICA Els nombres naturals, que són els enters positius, ja els havíem col·locat a la dreta, en ordre creixent, segons ens movem cap a la dreta. Ara col·locarem els enters negatius a l'esquerra del 0, començant amb el -1, després el -2, i així successivament.

1.4. COMPARACIÓ DE NOMBRES ENTERS Els nombres naturals s´ordenen de forma creixent a mesura que s´allunyen del 0 en la recta numèrica, de manera que un nombre és més gran que un altre si està col·locat més a la dreta. L´ordre és igual quan considerem tots els nombres enters, positius i negatius: com més cap a la dreta estiguin col·locats, més grans són. Si comparem dos nombres negatius passa el mateix.

EXEMPLES +2 >-8 -8<-6 -1>-8

2.OPERACIONS AMB NOMBRES ENTERS 2.1 SUMA I RESTA DE NOMBRES ENTERS Un nombre enter positiu significa un guany i un enter negatiu, una pèrdua. Sumar ho interpretem com afegir i restar com treure. SUMES I RESTES AMB NOMBRES DEL MATEIX SIGNE. Per sumar o restar nombres enters del mateix signe, sumem els seus valors absoluts i deixem el signe que tenien. Si volem realitzar +5+3, el que hem de pensar és que estem acumulant guanys. +5+3=+8 D´altra banda, si tenim -5-3, el que tenim és una acumulació de deutes, és a dir, en total devem -5-3=-8

SUMES I RESTES AMB NOMBRES DE DIFERENT SIGNE Per sumar o restar nombres enters de diferent signe, restem els seus valors absoluts i deixem el signe del més gran. +8-3 significa que tenim uns guanys de 8 unitats i uns deutes de 3 unitats, cosa que resulta, després de pagar el deute, un guany de 5 unitats. -8+3 vol dir que tenim un deute de 8 unitats i un guany de 3 unitats, cosa que ens deixa devent encara 5 unitats.

Sumar un enter positiu. Si tenim +(+5) el que fem és afegir un guany, cosa que ens proporcionarà guany, és a dir, un enter positiu. +(+5)=+5 Sumar un enter negatiu. Si sumem +(-5) afegim un deute, és a dir, ens quedem devent diners. +(-5)= -5 Restar un enter positiu. En el cas –(+5) estem traient un guany, és a dir, originant un deute. -(+5)=-5 Restar un enter negatiu. Finalment, -(-5) equival a treure un deute, per tant, a obtenir un guany -(-5)=+5

EXERCICI Calcula pas a pas les sumes i restes d´enters següents: (+3)-(-5)= (-8)-(-3)= (+2)+(-3)= (+7)+(+5)= (-2)-(-9)=

2.2. Combinació de sumes i restes d´enters. Parèntesis. Suma i resta de més de dos enters. Per evitar errors en les operacions: Eliminarem els parèntesis i agruparem (sumarem) els nombres del mateix signe entre si, és a dir, els positius d´una banda i els negatius, de l´altra. Realitzarem la suma o resta final, parant atenció al signe del resultant. (-3)+(+2)-(-8)+(-5)-(+4)=-3+2+8-5-4=+10-12=-2

Sumes o restes amb parèntesis Realitzarem els càlculs que apareixen a l´interior dels parèntesis. Quan hàgim reduït els parèntesis a un sol nombre, aplicarem les regles d´eliminació de parèntesis. Amb un signe + abans del parèntesis: -3+(-2+5-7)= -3+(5-9)= -3+(-4)= -3-4= -7 Amb un signe - abans del parèntesis: -7-(1+5-4)= -7-(6-4)= -7-(+2)= -7-2=-9

Sumes i restes amb parèntesis i claudàtors encaixats Eliminem parèntesis aplicant el signe corresponent al seu interior, començant primer pels interiors i després pels més externs. Exemple: 3-[-2+(-7)]+[5-3-(8-9+2)]=3-(-2-7)+(5-3-8+9-2)= 3+2+7+5- 3-8+9-2=26-13=13

2.3. MULTIPLICACIÓ DE NOMBRES ENTERS Regla dels signes (+4)· (+3)= +12 (-4)· (-3)= +12 (+4)· (-3)= -12 (-4)· (+3)= -12

2.4. DIVISIÓ DE NOMBRES ENTERS Regla dels signes (+12) : (+3)= +4 (-12) : (-3)= +4 (+12) : (-3)= -4 (-12) : (+3)= -4

2.5. Propietat distributiva i extracció de factor comú El producte d´un nombre enter per una suma (o resta) és igual a la suma (o resta) dels productes d´aquest nombre per cada un dels termes de la suma (o resta). Extracció de factor comú El procés contrari a la propietat distributiva s´anomena extracció de factor comú, i consisteix a trobar el factor que es repeteixi en una suma (o resta) de productes i convertir aquesta suma (o resta) en un producte d´aquest factor per una suma (o resta).

ACTIVITATS 1. Resol aplicant la propietat distributiva 3·[(-2)-(-7)] (-5)·(5-3) [-9+(-8)]·(+4) [5+(+6)]·(-3) 2. Extreu factor comú i calcula el resultat -4·6+(-4)·(-3) (-7)·(-5)-2·(-5) 3·7-7·6 (+6)·(-2)-9·6

SOLUCIONS 1. Resol aplicant la propietat distributiva 3·[(-2)-(-7)]= -6+21=15 (-5)·(5-3)= -25+15= -10 [-9+(-8)]·(+4)= -36-32=-68 [5+(+6)]·(-3)= -15-18=-33 2. Extreu factor comú i calcula el resultat -4·6+(-4)·(-3)=-4·(6-3)= -12 (-7)·(-5)-2·(-5)= -5·(-7-2)= +45 3·7-7·6=7·(3-6)= -21 (+6)·(-2)-9·6= 6·(-2-9)= -66

2.6. Operacions combinades En les operacions amb nombres enters, de la mateixa manera que en les operacions amb nombres naturals, hem de seguir un ordre en la seva realització: Parèntesis o claudàtors, començant pels més interns i si n´hi hagués diversos d´encaixats. Multiplicacions i divisions. En el cas que hi hagi multiplicacions i divisions seguides diferents, es realitzaran d´esquerra a dreta. Sumes i restes.

ACTIVITATS Calcula i escriu el procés pas a pas: (-36):[-2+(-3)·(-5+2)+(-1)]·(-5) 24-2·(-5)+10 -2+(-18):[(-24):4]-(-3)·5

SOLUCIONS Calcula i escriu el procés pas a pas: (-36):[-2+(-3)· (-5+2)+(-1)]·(-5)= (-36):(-2+9-1)·(-5)= (-36):6·(-5)= (-6)·(-5)= 30 24-2·(-5)+10= 24+10+10=44 -2+(-18):[(-24):4]-(-3)·5= -2-18:(-6)+15= -2+3+15= 16

3. POTÈNCIES DE NOMBRES ENTERS Una potència és una multiplicació en que tots els factors són iguals. Així que 25= 2·2·2·2·2=32, on: 2 és la base o factor que es repeteix. 5 és l´exponent. Indica el nombre de vegades que multipliquem el factor per si mateix. 32 és el resultat de la potència. Fins ara només hem calculat potències que tenien per base un nombre natural. Així: 34= 3·3·3·3= 81 23=2·2·2=

Si la base d´una potència és un nombre enter negatiu, procedim de la mateixa manera: multipliquem la base per si mateixa tantes vegades com s´indica l´exponent, i respectem les regles dels signes de la multiplicació. Així que: (-8)2= -8·(-8)= +64 (-5)3== -5·(-5)·(-5)= -125 Podem determinar el signe d´una potència que té com a base un nombre enter negatiu observant-ne la base i l´exponent: Si l´exponent és un nombre parell, la potència és positiva Si l´exponent és un nombre senar, la potència té un signe negatiu.

ACTIVITATS Calcula: (-5)2 (-4)3 -2·(-3)2

SOLUCIONS Calcula: (-5)2= +25 (-4)3= -64 -2·(-3)2= -2· 9= -18 (Es tracta de dues operacions combinades: una multiplicació i una potència. Primer calculem la potència i després la multiplicació per respectar l´ordre de prioritats de les operacions combinades)

ACTIVITATS COMBINADES Resol: 15-6·7+12:3= -36:6:(-2)+(-2)2= -10-7(7-18:6)·4-7= -9-(72-9)-(-2)4

SOLUCIONS 15-6·7+12:3= 15- 42+4= -27+4= -23 -36:6:(-2)+(-2)2= -6: (-2)+4= 3+4= 7 -10-(7-18:6)·4-7= -10-(7-3)·4-7= -10-4·4-7= -10-16-7= -33 -9-(72-9)-(-2)4= -9-(49-9)-16= -9-40-16= -65

4. ARRELS DE RADICAND NEGATIU L´operació inversa a la potència és l´arrel. √4=2 perquè 22= 4 Seria possible calcular √-4? Existeix algun nombre que elevat al quadrat doni -4? Si la base és positiva, qualsevol potència serà positiva, i si la base fos negativa, com que l´exponent és parell, també seria positiva. Així que seria impossible obtenir -4 elevant un nombre al quadrat. L´ARREL QUADRADA D´UN NOMBRE NEGATIU NO EXISTEIX