Cálculo de volúmenes de revolución “CÁLCULO I” BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Cálculo de volúmenes de revolución Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. Minas. Universidad Politécnica de Madrid --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

VOLUMEN DE REVOLUCIÓ AL GIRAR ALREDEDOR DE EJE X: y2 = p.x y(x) a b dx --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

VOLUMEN DE REVOLUCIÓ AL GIRAR ALREDEDOR DE EJE Y: y2 = p.x a b --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Giro de un elemento dx alrededor del eje OY Eje y x1 x0 y(x) Eje x b dx a y2 = p.x dx x1 x0 y(x) Eje y Eje x Volumen corona cilíndrica: 2.x dx --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Volumen de revolución del cuerpo encerrado por la revolución de las curvas: y = f(x) , y = g(x) entre x=a , x=b Alrededor de eje OX: Alrededor de eje OY: --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Calcular el volumen engendrado por y=sen(x) al girar: EJEMPLO: Calcular el volumen engendrado por y=sen(x) al girar: Alrededor de eje OX. Alrededor de eje OY. En ambos casos se considera el intervalo [0,] Solución: A) B) --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Calcular el volumen de la región : , y=1, x=1 EJEMPLO: Calcular el volumen de la región : , y=1, x=1 al girar alrededor de x=1 Solución: Recinto: Distancia al eje de giro 1-x --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Calcular el volumen engendrado al girar el círculo : (*) EJEMPLO: Calcular el volumen engendrado al girar el círculo : al girar alrededor de OX Solución: 2 8 y x  (*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas” Ed. Tébar Flores. --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Haciendo el cambio de variable: x=2.sen(t)  dx = 2.cos(t).dt x= -2  -2 = 2.sen(t)  sen(t) = -1  t = -p/2 x = 2  2 = 2.sen(t)  sen(t) = 1  t = p/2 --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Que se puede resolver como una integral Euleriana: 2.p-1=0  p = ½ 2.q-1=2  q = 3/2 --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Calcular el volumen del elipsoide de revolución que se EJEMPLO: Calcular el volumen del elipsoide de revolución que se obtiene al girar la elipse: alrededor de su eje mayor. Solución: b A1 Por simetría se puede escribir: -a a -b --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Una expresión paramétrica de la elipse es: x(t) = a . cos(t) y (t) = b . sen(t) Introduciendo las paramétricas en la fórmula del volumen se tendrá: 2.p-1=3  p = 2 2.q-1=0  q = 1/2 --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Calcular el volumen engendrado por la revolución del (*) EJEMPLO : Calcular el volumen engendrado por la revolución del recinto limitado por: y = -x2 - 3x+6 , x +y =3. Al girar alrededor de x=3 Al girar alrededor de OX Solución: x = - 3 x = 1 (*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas” Ed. Tébar Flores. --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

A) B) --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Calcular el volumen de un cilindro de revolución de EJERCICIO PROPUESTO: Calcular el volumen de un cilindro de revolución de eje vertical, de radio R y altura h. Solución: V=p.R2.h --Cálculo de Vols. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez