SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Presentación del tema: "SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN"— Transcripción de la presentación:

1 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
Tema * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Imaginemos un arco de la curva expresada de forma explícita y = f(x). La hacemos girar alrededor del eje de abscisas entre x=a y x=b. Se habrá generado un cuerpo de revolución ( puede ser un cilindro, un cono, un tronco de cono, una esfera, un “balón de rugby”, o miles más de todas las formas imaginables ). El área de la superficie así generada por la curva y = f(x) definida en un intervalo [a, b], al girar en torno del eje OX se calcula con la formula: b b Área = 2.π. ∫ y.√(1+(y’)2 )dx = 2.π. ∫ f(x).√ (1+ [ f ’(x) ] 2 ) dx a a cuyos pasos para resolver la integral son los mismos que para el cálculo de áreas, sin más que hallar y’ =f’(x)=dy/dx y elevarla al cuadrado previamente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

3 Matemáticas 2º Bachillerato C.T.
EJEMPLO_1 2 Hallar el área de la curva: y= √x Entre los puntos A(0,0) y B(4,2) El área generada será: 4 A = 2.π. ∫ f(x).√ (1+ [ f ’(x) ] 2 ) dx y’ = 1 / 2.√x A = 2.π. ∫ √x. √ [ 1 + (1 / 2.√x)2 ]. dx = = 2.π. ∫ √x. √ [ / 4x ]. dx = 2.π. ∫ √ [ x + 1 / 4 ]. dx ; 4, ,25 Cambio: x+0,25 = t ; dx = dt  2.π. ∫ √ t . dt = 2.π.(2/3).[ t3/2 ] = 36,177 0, ,25 y= √x x -2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

4 Matemáticas 2º Bachillerato C.T.
EJEMPLO_2 4 Hallar el área de la curva: y= x2 Entre los puntos A(0,0) y B(2,4) El área generada será: 2 A = 2.π. ∫ f(x).√ (1+ [ f ’(x) ] 2 ) dx ,, y’= 2x A = 2.π. ∫ x2 √ [ 1 + (2x)2 ]. dx = 2.π. ∫ x2 .√ (1 + 4.x2 ) dx = … y= x2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

5 Matemáticas 2º Bachillerato C.T.
EJEMPLO_3 Hallar el área engendrada por la rotación entorno al eje X de la curva: 9.y2 = x.(3 – x)2 y2 = (1/9).x. (3 – x)2  Corta en x= 0 y en x = 3 y=± (1/3). √x. (3 – x) Consideramos la rama positiva. y ’ = (1/3). (1 / 2√x). (3 – x) + (1/3).√x. (– 1) 3 – x √x (y ’)2 = ( – )2 6√x El área será: (3 – x) x – x A = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ – ]. dx = x x + 9 – 6x + x2 + 4.x2 – 12.x + 4x2 = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ ]. dx x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

6 Matemáticas 2º Bachillerato C.T.
… x x + 9 = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ ]. dx x x2 + 2x + 1 = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ ]. dx x (x + 1) = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x) dx √x 3 = 2.π ∫ (1/6). (3 – x). (x + 1). dx = 2.π (1/6). ∫ (2.x + 3 – x2 ) dx = 2.π.(1/6).[ x2 + 3x – (1/3).x3 ] = 3.π u2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

7 Matemáticas 2º Bachillerato C.T.
LONGITUD DE UN ARCO LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EN EL PLANO Sea una curva (función) expresada en forma explícita: y = f(x). Si la función, en lugar de representar una curva, representara a una línea recta, la longitud del segmento AB sería: |AB| = √[(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ], como se vió en cursos pasados. Donde A(x1 – y1) y B(x2 – y2) Se fundamentaba en que la medida del segmento AB era hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos eran los incrementos de las variables: |AB| = √ [ (Δx)2 + (Δy)2 ] Pues bien, en el caso de curvas en el plano, la longitud del arco se halla de forma muy similar. En lugar de los incrementos utilizamos las diferenciales, dx y dy: b b dy Longitud AB = L = ∫ √ [(dx)2 + (dy)2 ] = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx a a dx Siendo a= xa y b=xb ; y sabiendo que f ’(x) = dy / dx. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

8 Matemáticas 2º Bachillerato C.T.
EJEMPLO_1 Hallar la longitud de la curva: y= √x Entre los puntos A(1,1) y B(4,2) La longitud será: dy L = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx dx Como dy / dx = y’  y’ = 1 / 2.√x 4 L = ∫ √ [ 1 + (1 / 2.√x)2 ]. dx = 1 = ∫ √ [ / 4x ]. dx = [ x + ¼ lnx] = = (4 + 0,25.ln4)–(1+0,25.ln1)= 3+0,25.1,3862 = 3,3466 2 1 y= √x X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

9 Matemáticas 2º Bachillerato C.T.
EJEMPLO_2 Hallar la longitud de la curva: y= x2 Entre los puntos A(-1,1) y B(2,4) La longitud será: dy L = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx dx Como dy / dx = y’  y’ = 2x 2 L = ∫ √ [ 1 + (2x)2 ]. dx = -1 = ∫ √ [ 1 + 4x2 ]. dx = [ x + 4. x3 / 3 ] = = ( /3)–(-1-4.1/3)= 38/3 + 7/3 = 45/3 = 15 Mal ????? 4 y= x2 1 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

10 Matemáticas 2º Bachillerato C.T.
EJEMPLO_2 Hallar la longitud de la curva: x y2 = 1 , para valores de y positivos, entre los puntos x= -2 y x=4 Operando: 16.x y2 = 400  y = √ (400 – 16.x2) / 5 = (4/5). √ (25 – x2) y ’ = dy / dx = x / 5.√ (25 – x2) La longitud será: dy L = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx dx 4 L = ∫ √ [ 1 + [- 4.x / 5.√ (25 – x2)]2 ]. dx = -2 = ∫ √ [ x2 / (625 – 25.x2 ) = = ∫ √ [ (625 – 9.x2 ) / (625 – 25.x2 ) = 4 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.