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Cálculo de áreas de revolución
“CÁLCULO I” BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Cálculo de áreas de revolución Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. Minas. Universidad Politécnica de Madrid --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Forma explícita: y = f(x)
Alrededor de OX: a b y = f(x) --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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Alrededor de OY: Curva: x = g(y) entre y = c ; y = d y=d y=c
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (1) :
Giro alrededor del eje OX y = f(x) ds y1 y2 A B C D dx a b Se considera el tronco de cono de revolución ABCD (Área lateral)tr.cono= 2p.(radio medio). (longitud generatriz) y ds Integrando en [a,b]: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (2) :
Giro alrededor del eje OY y=d ds D C Se considera el tronco de cono de revolución ABCD dy x y=c A B (Área lateral)tr.cono= 2p.(radio medio). (longitud generatriz) x ds Integrando en [a,b]: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (3) :
Q Ds Dy P Cálculo del diferencial de arco “ds” Dx (Cuerda PQ)2 = Dx2 + Dy2 (Cuerda PQ/ Ds)2.(Ds/ Dx) 2 = 1 + Dy2 / Dx2 Hacemos Q P, es decir, Dx 0: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (4) :
Q Ds Dy P Cálculo del diferencial de arco “ds” Dx (Cuerda PQ)2 = Dx2 + Dy2 (Cuerda PQ/ Ds)2.(Ds/ Dy) 2 = 1 + Dx2 / Dy2 Hacemos Q P, es decir, Dy 0: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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Calcular el área de la superficie engendrada por la
EJEMPLO: Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OX, de la parábola: y2=4x entre x = 0, x=2 Solución: Por simetría respecto OX, consideramos la rama positiva: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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Calcular el área de la superficie engendrada por la
EJEMPLO: Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OY, del arco de curva: x=y3 entre y = 0, y=1 Solución: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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Área de una superficie de revolución en PARAMÉTRICAS:
Alrededor del eje OX: Alrededor del eje OY: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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Calcular el área engendrada por la revolución alrededor
Ejemplo Calcular el área engendrada por la revolución alrededor del eje OX de la astroide: a Solución: -a a Pasamos a paramétricas: -a Nuevos límites de integración: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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--Cálculo de Áreas. Rev. -- A. Hidalgo, M. Hervás, R. Rodríguez, F
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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2.p-1=4 p = 5/2 2.q-1=1 q = 1 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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A)Hallar la superficie de revolución, al girar alrededor de OX,
EJEMPLO: A)Hallar la superficie de revolución, al girar alrededor de OX, del arco de curva y = a.Ch(x/a) entre x=0, x=2a siendo a>0 B)Hallar la superficie de revolución al girar el mismo arco alrededor de OY Solución: A) Si y = a.Ch(x/a) y’ = Sh(x/a) --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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Como Ch2(x) - Sh2(x) = 1 1+Sh2(x) = Ch2(x) :
de donde se obtiene: Pues: Operando: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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Ch(x/a)dx=dv v = a.Sh(x/a)
B) u=x du = dx Ch(x/a)dx=dv v = a.Sh(x/a) --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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