DIFERENCIA DE CUADRADOS Existe entre los productos especiales uno muy utilizado: 𝟓𝒙 𝟗 25 𝑥 2 −81= + − 𝟓𝒙 𝟗 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 = 𝐴 2 +𝐴𝐵−𝐴𝐵− 𝐵 2 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 = 𝐴 2 − 𝐵 2 𝟓𝒙 2 𝟗 2 Diferencia Cuadrado del primer monomio Cuadrado del primer monomio Diferencia 𝑥 4 − 36= + − 𝒙 𝟐 𝟔 𝒙 𝟐 𝟔 𝒙 𝟐 2 6 2 Diferencia VOLVER

CASO DE FACTOREO. JUSTIFICACIÓN Ejemplos + Ejercicio: identifica el caso de factoreo que se debe aplicar y completa la factorización POLINOMIO 4 𝑥 2 +12𝑥+9= 4 𝑥 2 −9= 2 𝑥 3 −3 𝑥 2 = 8𝑥 3 −36 𝑥 2 +54𝑥−27= 4 𝑥 2 −12𝑥+9= 16 𝑥 2 −81= 6 𝑥 3 −9 𝑥 2 +4𝑥−6= 8𝑥 3 +36 𝑥 2 +54𝑥+27= 4 𝑥 3 +6 𝑥 2 −6𝑥−9= − 8𝑥 3 +36 𝑥 2 −54𝑥+27= 14 𝑥 2 +21𝑥= FACTORIZACIÓN CASO DE FACTOREO. JUSTIFICACIÓN 𝟐𝒙+𝟑 2 𝑇𝐶𝑃: 𝟐𝒙 2 +2 𝟐𝒙 𝟑+ 𝟑 2 (𝟐𝐱+𝟑)(𝟐𝐱−𝟑) D𝐶: 𝟐𝒙 2 − 𝟑 2 𝒙 𝟐 .(2x−3) 𝐹𝐶:2. 𝒙 𝟐 . 𝑥−3 𝒙 𝟐 (𝟑𝒙 𝟐 +𝟐).(2x−3) 𝐹𝐶𝐺: 2.𝟑𝒙 𝟐 𝑥−3.𝟑 𝒙 𝟐 +𝟐.2𝑥−2.3 −𝟐𝒙+𝟑 3 𝐶𝐶𝑃: −𝟐𝒙 3 +3. −𝟐𝒙 2 .𝟑+3. −𝟐𝒙 . 𝟑 2 + 𝟑 3 RESOLVER VOLVER

DIVISIBILIDAD Si P(x) es divisible por 𝑥−𝑎 entonces R=0 5 𝑥 4 −3 𝑥 3 +2 𝑥 2 −7𝑥+3 es divisible por 𝑥+1 ya que: Si P(x) es divisible por 𝑥−𝑎 entonces R=0 entonces P( 𝑎 ) = 0 entonces x =𝑎 es raíz de P(x) EJEMPLO x = -2 es raíz de Q(x) = 𝑥 3 −3𝑥+2 ya que Q(-2)=0 Según el Teorema del resto: el resto de Q(x) : 𝑥+2 es R = Q(-2) y Q(-2)= 0 entonces el resto es 0 Entonces Q(x) es divisible por 𝑥+2 En consecuencia el polinomio se puede expresar como productos del divisor por el cociente Q(x) = 𝑥+2 (5 𝑥 3 +2 𝑥 2 +4𝑥−3) Si P(x) tiene una raíz 𝑥=𝑎 entonces tiene un divisor 𝑥−𝑎 y en consecuencia se lo quede escribir en forma de producto →𝑃 𝑥 = 𝑥−𝑎 .𝐶(𝑥) VOLVER

SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO (IMPAR) 𝑥 3 −8= 𝑥−2 .(𝑥 2 +2𝑥+4) 𝑥 3 +27= 𝑥−3 .(𝑥 2 −3𝑥+9) CA Buscar raíces 𝑥 3 −8=0 𝑥 3 =8 𝑥= 3 8 𝑥=2 Divisor: 𝑥−2 Obtener el cociente ( 𝑥 3 −8):(𝑥−2) 1 0 0 −8 2 2 4 8 1 2 4 |0 Cociente 𝑥 2 +2𝑥+4 Si 𝑃 𝑥 : 𝑥−2 = 𝑥 2 +2𝑥+4 entonces 𝑃 𝑥 = 𝑥−2 .( 𝑥 2 +2𝑥+4) CA Buscar raíces: 𝑥 3 +27=0 𝑥 3 =−27 𝑥= 3 −27 𝑥=−3 Divisor: 𝑥+3 Obtener el cociente ( 𝑥 3 +27):(𝑥+3) 1 0 0 27 -3 -3 9 -27 1 -3 9 |0 Cociente 𝑥 2 −3𝑥+9 Si 𝑃 𝑥 : 𝑥+3 = 𝑥 2 −3𝑥+27 entonces 𝑃 𝑥 = 𝑥+3 .( 𝑥 2 −3𝑥+9) VOLVER

Ejercicios: unir cada igualdad con el factor que le falta y escribe la igualdad completa 𝑥 3 +1= 𝑥+1 𝑥 5 −32=(𝑥−2) 𝑥 3 −1= 𝑥−1 𝑥 3 +8= 𝑥+2 𝑥 5 +32=(𝑥+2) (𝑥 2 −2𝑥+4) (𝑥 2 −2𝑥+4) (𝑥 4 −2 𝑥 3 +4 𝑥 2 −8𝑥+16) ( 𝑥 4 +2 𝑥 3 +4 𝑥 2 +8𝑥+16) (𝑥 2 −𝑥+1) (𝑥 2 +𝑥+1) (𝑥 4 −2 𝑥 3 +4 𝑥 2 −8𝑥+16 ( 𝑥 4 +2 𝑥 3 +4 𝑥 2 +8𝑥+16) (𝑥 2 −𝑥+1) (𝑥 2 +𝑥+1) (𝑥 2 +𝑥+1) 𝑥+1 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 3 +1 ya que Resto = P(-1)= −1 3 +1=0 Ya tenemos el divisor : x+1 Calculo del cociente (𝑥 3 +1): 𝑥+1 1 0 0 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 0 → 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑥 2 −𝑥+1 𝑆𝑖 (𝑥 3 +1): 𝑥+1 = 𝑥 2 −𝑥+1 → 𝑥 3 +1= 𝑥+1 . (𝑥 2 −𝑥+1) RESOLVER VOLVER

TRINOMIO DE GRAD0 2 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Denominamos trinomio de grado dos a los de la forma: Para factorizar se buscaran las raíces 2 𝑥 2 + 7𝑥 + 3=0 usaremos la fórmula resolvente 𝑥 1,2 = −7± 7 2 −4.2.3 2.2 𝑥 1 = −7+ 25 4 𝑥 2 = −7− 25 4 𝑥 1 =− 1 2 𝑥 2 =−3 Divisores: 𝑥 + 1 2 𝑦 𝑥 + 3 Obtención de los cocientes 2 7 3 si se divide por 𝑥 + 1 2 − 1 2 - 1 -3 2 6 0 cociente 2𝑥 +6 y se divide 𝑥 + 3 -3 -6 2 0 cociente 2 Ejemplo: 2 𝑥 2 + 7𝑥 + 3 𝒂=2 Coef. principal 𝒃=7 Coef. lineal 𝒄=3 térm. Independ. 2 𝑥 2 + 7𝑥 + 3 (𝑥 + 1 2 ) . (2𝑥 +6) (𝑥 + 1 2 ) . 2(𝑥 +3) 2 𝑥 2 + 7𝑥 + 3 2(𝑥 + 1 2 )(𝑥−3) Los trinomios de grado dos son igual al entre el coeficiente principal y los binomios de la forma variable menos la raíz 𝐚 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 =𝒂(𝒙 − 𝒙 𝟏 )(𝒙− 𝒙 𝟐 ) VOLVER

Coeficientes: 𝑎=5 𝑏=−6 𝑐=4 Ejemplos: Como factorizar un trinomio de grado dos: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=𝑎(𝑥− 𝑥 1 )(𝑥− 𝑥 2 ) 𝑥 2 −6𝑥+9= 3 𝑥 2 +2𝑥−8= 5𝑥 2 −6𝑥+4= 𝑥+ 3 8 = 3 𝑥−1 = 1 𝑥−3 𝑥−3 = 𝑥−3 2 = polinomio primo Coeficientes: 𝑎=3 𝑏=2 𝑐=−8 Raíces: 3 𝑥 2 +2𝑥−8=0 𝑥 1,2 = −2± 2 2 −4.3(−8) 2.3 𝑥 1,2 = −7± 49−24 6 𝑥 1 =− 8 3 𝑥 2 =1 Divisores: (𝑥−(− 8 3 )) y (𝑥−1) Coeficientes: 𝑎=1 𝑏=−6 𝑐=9 Raíces: 𝑥 2 −6𝑥+9=0 𝑥 1,2 = 6± (− 6) 2 −4.1.9 2.1 𝑥 1,2 = 6± 36−36 6 𝑥 1 =3 𝑥 2 =3 «raíces dobles» Divisores es dos veces divisible por (x – 3 ) Coeficientes: 𝑎=5 𝑏=−6 𝑐=4 Raíces: 5 𝑥 2 −6𝑥+4=0 𝑥 1,2 = 6± (−6} 2 −4.5.4 2.5 𝑥 1,2 = 6± 36−40 10 𝑥 1,2 = 6± −4 10 No tiene solución real no existen raíces Divisores: no tiene VOLVER

Al trinomio − 𝑥 2 +𝑥+6 Se factorea −(𝑥+3)(𝑥−2) −(𝑥−3)(𝑥−2) −(𝑥−3)(𝑥+2) Cual de los polinomios tiene raíces dobles 𝑥 2 −2𝑥 + 2 𝑥 2 −2𝑥+1 𝑥 2 −2𝑥−1 Uno de estos polinomios no tiene por raíces a 𝑥= 2 3 y x=−2 6 𝑥 2 +8x−8 −3 𝑥 2 −4x+4 6 𝑥 2 +16x−8 Cual de los siguientes polinomios es primo − 𝑥 2 +7x−8 𝑥 2 +2x+4 𝑥 2 −4x+4 Ejercicio: elije la respuesta correcta (nota revisar ecuaciones cuadráticas) RESOLVER VOLVER

CASO GENERAL DE FACTOREO PARA POLINOMIOS DE GRADO MAYOR A 2 E𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 :factorear 𝑃(𝑥)=2𝑥 3 −7 𝑥 2 +2𝑥+3 Calculo de raíces P(x)=0 2𝑥 3 −7 𝑥 2 +2𝑥+3=0 𝑥−1 . 2 𝑥 2 −5𝑥−3 =0 Un producto es igual a «CERO» si alguno de sus factores es igual a 0 𝑥−1=0 2 𝑥 2 −5𝑥−3=0 𝑥=1 𝑥 1,2 = 5± 25−4.2(−.3) 2,2 𝑥=3 𝑥=− 1 2 Divisores 𝑥−1 𝑥−3 𝑥+ 1 2 Factoreo: El polinomio es igual al producto del coeficiente principal por todos sus divisores. 2𝑥 3 −7 𝑥 2 +2𝑥+3= «TEOREMA DE GAUS» nos permite conocer raíces P(X)= 2𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 (de grado 3) Identificar Obtener divisores enteros del término independiente: p →±1, ±3 Obtener divisores enteros del coeficiente principal: q →±1, ±2 Las Posibles Raíces racionales son de la forma 𝒑 𝒒 =±1, ±2. ±3, ± 1 2 Valuamos P(1)= 2.1 3 −7. 1 2 +2.1+3 = 0 →𝑥=1 es raíz , 𝑥−1 divisor y entonces 𝑃(𝑥)=(𝑥−1).𝐶(𝑥) Termino independiente TI=3 Coeficiente principal CP=2 2 -7 2 3 2 -5 -3 2 -5 -3 0 C(x)=2 𝑥 2 −5𝑥−3 𝑥+ 1 2 2. 𝑥−1 𝑥−3 VOLVER

Grado de P(x)=3 Cantidad de raíces racionales=3 Ejercicio: buscar todas las raíces racionales aplicando T. de Gaus y luego factorear 𝑃 𝑥 = 𝑥3−19 𝑥+30 TI =30 p→±1±2±3±5±6±10±15±30 𝑪𝑷=1 𝐪 →±1 𝑄 𝑥 =2𝑥3−3 𝑥2−3𝑥−2 TI =−2 p→±1±2 𝑪𝑷=2 𝐪 →±1±2 N OTA: Si las raíces figuran una sola vez en el factoreo se dice que son Raíces SIMPLES x= 𝒑 𝒒 P(X) = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟗𝒙 + 𝟑𝟎 1 P(1) = -1 P(-1) = 2 P(2) = -2 P(-2) = 3 P(3) = -3 P(-3) = 5 P(5) = -5 P(-5) = x= 𝒑 𝒒 P(X) = 𝟐𝒙𝟑−𝟑 𝒙𝟐−𝟑𝒙−𝟐 1 P(1) = --1 P(-1) = 2 P(2) = -2 P(-2) = 𝟏 𝟐 P( 1 2 )= − 𝟏 𝟐 P(- 1 2 ) = ………………………………….. ≠ 0  …………………………………..≠0  ………………………………….. ≠ 0  2(-1)3-3(-1)2-3(-1)-2 = 0 Raíz (2)3 − 19(𝟐)+30 = 0 Raíz 2(2)3-3(2)2-3(2)-2 = 0 Raíz ………………………………….. ≠0  ………………………………….. ≠ 0  (𝟑)3− 19(𝟑) +30 = 0 Raíz 2( 𝟏 𝟐 )3-3( 1 2 )2-3( 1 2 )-2 = 0  Raíz ………………………………….. ≠ 0 ………………………………….. ≠ 0  …………………………………..≠0  −𝟓 3−19 −𝟓 +30=0 Raíz Grado de P(x)=3 Cantidad de raíces racionales=3 P(x)= x3 - 19 x + 30 = 1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥+5 Grado de P(x)=3 Cantidad de raíces racionales=3 𝑄 𝑥 =2𝑥3−3 𝑥2−3𝑥−2= 𝑥+1 𝑥−2 (x− 1 2 ) RESOLVER VOLVER

Ejercicio: buscar una de las raíces obtener divisor y cociente resuelve la ecuación de cuadrática y Factorear (𝒙−𝟏) (𝒙−1) (𝒙−𝟐) 𝒙𝟑−𝟒𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟐= Raíces: 𝒙𝟑−𝟒𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟐=𝟎 TI =30 p→±1±2 𝑪𝑷=1 𝐪 →±1 x = 𝒑 𝒒 = ±1±2± 1 2 Valuar P(1) = 13−4.12+5.1−2 = 0 x= 1 raíz entonces x-1 divisor 1 -4 5 -2 1 1 -3 2 1 -3 2 0  C(x)=x2-3x+2 (𝒙−𝟏)(𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟐 )=𝟎 𝒙−𝟏=0 𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟐=0 𝒙=𝟏 𝑥 1,2 = 3± 9−4.1.2 2  𝒙=𝟏 𝒙=𝟐 N OTA: Un polinomio de grado n puede tener hasta n raíces Si una raíz figuran una sola vez en el factoreo es Raíces SIMPLES Si una raíz aparece k veces en el factoreo entonces es una raíz de Multiplicidad K Ejemplos: Si P(x)= (𝑥 – 1)2 (𝑥−2) 𝑥= 1 raíz de multiplicidad 2 𝑥 = 2 raíz simple Si Q(x)= − 𝑥−4 2 𝑥+ 1 3 𝑥=4 raíz de multiplicidad 2 𝑥=−1 raíz de multiplicidad 3 (𝒙−𝟏)2 (𝒙−𝟐) RESOLVER VOLVER

FIN