SISTEMAS DE COMUNICACIONES REPRESENTACIÓN DE SEÑALES EN EL ESPACIO ALEX PAUL PORRAS ROBALINO CARLOS RENATO SOLIS GUANIN

La representación vectorial de las señales facilita la tarea del diseño y análisis de un sistema digital de comunicaciones. Una diferencia importante entre modulación analógica y modulación digita es que mientras en las analógicas se evalúa la calidad mediante la relación señal/ruido, en las digitales el aspecto clave es la probabilidad de error en los símbolos trasmitidos, independientemente de la fidelidad entre las formas de onda enviadas y recibidas.

Esta representación permite que una señal esté representada por un vector N-dimensional relacionado con una base ortogonal de N señales.

Representación de señales de forma mas Compacta

CONCEPTO VECTORIAL Definición de Vector: –Un segmento lineal dirigido –Su longitud es denominada la longitud del vector –Su dirección es denominada como dirección mismo a b Vector aVector b Producto escalar ab : producto resultante de la longitud de la proyección del vector a sobre el vector b multiplicado por la longitud del vector b: c Vector c  a b ab=|a| |b| cos(  ), con |a| y |b| las longitudes de los vectores a y b respectivamente

ORTOGONALIDAD Vectores ortogonales: –Cuando el ángulo definido por sus direcciones es recto (  /2 ó 90°) a b Vector a Vector b  =90° Producto escalar o interno de vectores ortogonales es igual a cero: ab=|a| |b| cos(  /2 )=0

Representación geométrica En espacio Euclideano para el vector x -Considerando vector en un plano bidimensional: x=(x 1, x 2 ) -Dirección de vectores unitarios ortogonales  1 y  2 -Considerando vector en un espacio tridimensional: x=(x 1, x 2, x 3 ) -Dirección de vectores unitarios ortogonales  1,  2 y  3 22 22 x2x2 x1x1 11 x=x 1  1 +x 2  2 x1x1 x2x2 x3x3 11 33 x=x 1  1 +x 2  2 +x 3  3

Representación geométrica para un espacio n-dimensional Un vector x=(x 1, x 2, x 3,..., x n ) de N-orden, puede representarse como una combinación lineal de los n vectores unitarios ortogonales  1,  2,  3,...,  N

Propiedades Vectoriales Independencia: Un conjunto de vectores de m dimensiones, x 1, x 2,...,x m, es independiente si ninguno de los vectores de ese conjunto puede representarse como combinación lineal de los vectores restantes del conjunto, es decir:

Propiedades Vectoriales Vectores base: Son los n vectores independientes en un espacio n- dimensional Vectores ortonormales: Son vectores ortogonales con longitud unitarias, de un espacio n-dimensional. Satisfacen la propiedad del producto punto o interno:

El modelo habitual para las comunicaciones digitales A este se le divide el transmisor (o modulador digital) en dos elementos funcionales diferenciados: codificador, y modulador; y el receptor (o demodulador digital) se divide también en dos elementos funcionales: demodulador y decisor, tal y como se muestra en la figura

Modelo vectorial de sistema digital Fuente de Mensajes Codificador Vectorial Modulador Vectorial Sumidero de Mensajes Decodificador Vectorial Demodulador Vectorial Un mensaje cada T m segundos Una señal cada T S segundos Al canal físico Decisión: Muestra debe procurar mínima probabilidad de error ( corresponda a m i )

Del modelo Fuente de Mensaje: Un símbolo mensaje m i cada T m segundos, hay m diferentes símbolos y todos ocurren con igual probabilidad, Codificador Vectorial: Mapeo de un símbolo a un vector de valor real de dimensión N  M, Modulador Vectorial: Mapeo de un vector de valor real a una forma de onda de valor real en un intervalor 0  t  T S con energía finita,

Del modelo Canal de formas de onda: Sistema LTI, ancho de banda acomoda s i (t) sin distorsión, y el ruido es agregado. Donde n(t) es ruido blanco aditivo Gaussiano. Demodulador Vectorial: Mapeo de la señal recibida a un vector de valor real y dimensión N, Detector o Decodificador Vectorial: Mapea r i a uno de los m mensajes, La decisión se toma de acuerdo a un criterio estadístico de optimización para reducir la probabilidad de error de símbolo,

Conversión formas de onda a vectores espaciales Considere “V” como un espacio lineal Euclideano, sobre un campo numérico complejo “C”: 3. Linealidad: 2. Positivo de facto: 1. Simetría: 0. Notación del producto escalar, para dos vectores,  y  : Producto escalar (interno o punto) de un espacio Euclideano

Conversión formas de onda a vectores espaciales Extensión para señales de energía finita: Si la señal s(t) puede especificarse mediante una n-ada, entonces también es un vector Espacio de Señales: Se definen n señales  1,  2,  3,...,  N, como independientes, si satisfacen: Si toda señal s i (t) de un cierto espacio de M señales, se puede representar como una combinación lineal de n señales independientes {  j }, entonces se tiene un espacio de señales de N dimensiones, Donde los coeficientes s ij se obtiene como: NOTA: s ij es la proyección de s i sobre  j

Representación Espacial de Señales Producto Escalar o Interno de dos señales de valor real s(t) y y(t) sobre un intervalo [0,T] se define como: Norma o longitud de una señal s(t) se define como: Conjunto de señales ortogonales: Un conjunto de N forma de ondas de señales se denomina ortogonales si, Representación Espacial: Una vez especificadas las señales base {  j }, podemos representar la señal s(t) mediante una N-ada (s i1, s i2, s i3,...,s iN )

Representación Espacial de Señales Si,, energía unitaria, entonces el conjunto de señales {  1 } se denomina ortonormal, i.e., Otra vez, para un conjunto ortonormal, los coeficientes s ij de una señal s i (t) se obtiene por:

Ilustración Un espacio de señales consta de cuatro señales s1(t), s2(t), s3(t) y s4(t) como se muestra en la figura: s 1 (t) t s 2 (t) t s 3 (t) t s 4 (t) t 0.5 Vectores Ortonormales:  1 (t) t  2 (t) 1 12 t

Ilustración Puede demostrarse por simple inspección que las señales s 1 (t), s 2 (t), s 3 (t) y s 4 (t) pueden expresarse como combinaciones lineales de las señales ortonormales  1 (t) y  2 (t) según se muestra:

Ilustración Representación espacial de las señales s 1 (t), s 2 (t), s 3 (t) y s 4 (t) en un espacio vectorial euclideano definido por las señales ortonormales  1 (t) y  2 (t) según la figura de abajo:  2 (t)  1 (t) s 2 (t) s 4 (t) s 3 (t) s 1 (t) Qué procedimiento permite determinar los vectores ortonormales  j (t)? los coeficientes s ij ? la representación espacial/vectorial de las señales? El algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt.

Algoritmo de Ortogonalización Gram-Schmidt Algoritmo mediante el cual se determinan las N señales independientes y ortogonales de longitud unitaria (ortonormales)  1,  2,  3,...,  N, que permiten, a través de una combinación lineal de las mismas, representar las M señales de energía finita s 1 (t), s 2 (t), s 3 (t),...,s M (t) en un espacio vectorial euclideano de N-orden.

Consideraciones Cualquier señal s i (t) en un conjunto de M señales de energía puede ser representada por una combinación lineal de un conjunto de N funciones de señales ortonormales donde N  M. Donde:

Consideraciones Note que: Matricialmente: También:

Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle Entrada: Salida:

Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle Paso 1:

Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle Paso 2: Calcule: Fije: Calcular la norma de g 2 (t):

Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle Paso 2 (cont.): Fije: Tenemos que:

Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle Paso n: Calcule:

Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle

Ejemplo Un conjunto de cuatro formas de onda se ilustra abajo. Encuentre un conjunto ortogonal para este conjunto de señales aplicando el procedimiento de Gram- Schmidt. s 1 (t) t s 4 (t) t 3 s 3 (t) t 3 s 2 (t) t

Ejemplo Paso 1:

Ejemplo Paso 2: Calcule: Fije: Para calcular la norma de g 2 (t):

Ejemplo Paso 2 (cont.): Fije:

Ejemplo Paso 2 (cont.): Note que:

Ejemplo Paso 3: Calcule:

Ejemplo Paso 3 Cont.:

Ejemplo Paso Cont. 3:

Ejemplo Paso 4:

Ejemplo En resumen, el conjunto de señales ortonormales  1 (t),  2 (t),  3 (t) se grafican abajo.  1 (t) 1 2 t  2 (t) 1 2 t  3 (t) t 3

Ilustración La representación espacial se muestra en la gráfica de abajo.  2 (t)  1 (t) s 2 (t) s 3 (t) s 1 (t)  3 (t)