Funciones de ángulos compuestos y ángulos medios. Montoya.-

Regla nemotecnica

Reglas para memorizar

𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 =𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 +𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 Deduccion 𝑠𝑒 𝛼+𝛽 En la figura: 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 = 𝐴𝐸 𝑂𝐸 = 𝐸𝐷+𝐷𝐴 𝑂𝐸 = 𝐸𝐷+𝐵𝐶 𝑂𝐸 = 𝐸𝐷 𝑂𝐸 + 𝐵𝐶 𝑂𝐸 = 𝐸𝐷 𝑂𝐸 ∗ 𝐸𝐶 𝐸𝐶 + 𝐵𝐶 𝑂𝐸 ∗ 𝑂𝐶 𝑂𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 = 𝐸𝐷 𝑂𝐸 ∗ 𝐸𝐶 𝐸𝐶 + 𝐵𝐶 𝑂𝐸 ∗ 𝑂𝐶 𝑂𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 = 𝐸𝐷 𝐸𝐶 ∗ 𝐸𝐶 𝑂𝐸 + 𝐵𝐶 𝑂𝐶 ∗ 𝑂𝐶 𝑂𝐸 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 =𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽+𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 =𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 +𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽

cos 𝛼+𝛽 =𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 -sen𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 Deduccion 𝑠𝑒 𝛼+𝛽 En la figura: cos 𝛼+𝛽 = 𝑂𝐴 𝑂𝐸 = 𝑂𝐵−𝐴𝐵 𝑂𝐸 = 𝑂𝐵−𝐷𝐶 𝑂𝐸 = 𝑂𝐵 𝑂𝐸 − 𝐷𝐶 𝑂𝐸 = 𝐸𝐷 𝑂𝐸 ∗ 𝑂𝐶 𝑂𝐶 − 𝐷𝐶 𝑂𝐸 ∗ 𝐸𝐶 𝐸𝐶 cos 𝛼+𝛽 = 𝐸𝐷 𝑂𝐶 ∗ 𝑂𝐶 𝑂𝐸 − 𝐷𝐶 𝐸𝐶 ∗ 𝐸𝐶 𝑂𝐸 cos 𝛼+𝛽 =𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑒𝑛𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 cos 𝛼+𝛽 =𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 -sen𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽

Tangente de la suma de dos ángulos Se sabe que: 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 =𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 +𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 cos 𝛼+𝛽 =𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 -sen𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 dividiendo ambas igualdades. 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝛼+𝛽 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 cos 𝛼+𝛽 = 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 +𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 −sen𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝛼+𝛽 = 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 +𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 :𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 −sen𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 :𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝛼+𝛽 = 𝑡𝑎𝑔𝛼+𝑡𝑎𝑔𝛽 1−𝑡𝑎𝑔𝛼∗𝑡𝑎𝑔𝛽

Aplicaciones: Completar la tabla según se indica 𝒔𝒆(𝒐+𝜶) 𝒔𝒆𝒏𝟎𝒄𝒐𝒔𝜶+𝒄𝒐𝒔𝟎𝒔𝒆𝒏𝜶 0*cos𝜶+𝟏∗𝒔𝒆𝒏𝜶 sen𝜶 𝒔𝒆(𝒐+𝜶)=sen𝜶 𝑐𝑜𝑠 0+𝛼 𝑐𝑜𝑠 360+𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝜋+𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝜋−𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝜋−𝛼 tag 0+𝛼 tag 360+𝛼

Completar la tabla según se indica 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟕𝟎+𝜶) 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟕𝟎𝒄𝒐𝒔𝜶+𝒄𝒐𝒔𝟐𝟕𝟎𝒔𝒆𝒏𝜶 -1*cos𝜶+𝟎∗𝒔𝒆𝒏𝜶 -cos𝜶 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟕𝟎+𝜶)=-cos𝜶 𝑐𝑜𝑠 90+𝛼 𝑐𝑜𝑠 270+𝛼 𝑐𝑜𝑠 90−𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 +𝛼 𝑠𝑒𝑛 3𝜋 2 −𝛼 tag 90+𝛼 tag 270−𝛼

conclusión Regla nemotécnica( regla del burro) Si el burro dice que si: Se cambia a la Cofunción , atendiendo el signo Si el burro dice No , la función no se cambia , atendiendo el signo Ejemplos 𝑠𝑒𝑛 90+𝛼 =+𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠210= cos 180+30 =−𝑐𝑜𝑠30=− 1 2 3 Sec330=sec(360-30)=+sec30= 1 𝑐𝑜𝑠30 = 1 1 2 3 = 2 3 = 2 3 3

Volviendo al tema: ¿𝑠𝑒𝑛 𝛼−𝛽 ? Se sabe que: 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 =𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 +𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 Que se puede anotar como: 𝑠𝑒𝑛 𝛼+(−𝛽) =𝑠𝑒𝑛𝛼cos⁡(−𝛽) +𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛(−𝛽) 𝑠𝑒𝑛 𝛼+(−𝛽) =𝑠𝑒𝑛𝛼cos⁡(0−𝛽) +𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛(0−𝛽) De donde se obtiene: 𝑠𝑒𝑛 𝛼−𝛽 =𝑠𝑒𝑛𝛼cos⁡𝛽 -𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽

Del mismo modo: cos 𝛼−𝛽 =𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 +sen𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝛼−𝛽 = 𝑡𝑎𝑔𝛼−𝑡𝑎𝑔𝛽 1+𝑡𝑎𝑔𝛼∗𝑡𝑎𝑔𝛽

resumen 𝑠𝑒𝑛±=𝑠𝑒𝑛𝛼cos⁡𝛽 ±𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 cos 𝛼±𝛽 =𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 ∓sen𝛼𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝛼±𝛽 = 𝑡𝑎𝑔𝛼±𝑡𝑎𝑔𝛽 1∓𝑡𝑎𝑔𝛼∗𝑡𝑎𝑔𝛽

aplicaciones Calcular el valor de ( no use calculadora) Sen120 Sec150 Tag210 Cos300 Cosc240 Cos135 Sec225 Sen315 tag240

Halle el valor numérico de : 1) 𝑠𝑒𝑛 𝜋 3 𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 𝑐𝑡𝑔 𝜋 4 2) tg 𝜋 6 𝑐𝑡𝑔 𝜋 3 𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 3) 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 3 +2𝑐𝑠𝑐 𝜋 6 4) 2sen 𝜋 4 + 1 2 𝑠𝑒𝑐 𝜋 4 5) 𝑐𝑡𝑔 2 7 6 𝜋− 1 3 𝑠𝑒𝑛 2 5 3 𝜋 6) 𝑐𝑡𝑔 2 7 6 𝜋−4 𝑐𝑜𝑠 2 3 4 𝜋+3 𝑠𝑒𝑐 2 330 7) 𝑠𝑒𝑛 7 6 𝜋+𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 𝑠𝑒𝑛 5 3 𝜋−𝑐𝑜𝑠 𝜋 3 𝑠𝑒𝑐 𝜋 3 8) sen 210+2 2 cos 135+4𝑐𝑜𝑠180

Compruebe las igualdades. 1)𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑐 𝜋 2 −𝜃 −𝑐𝑡𝑔𝜃𝑐𝑡𝑔 𝜋 2 −𝜃 =0 2) 𝑠𝑒𝑛 2 𝜋 2 −𝜃 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃− 𝑡𝑎𝑔 2 𝜋 2 −𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃=0 3) 𝑠𝑒𝑛 2 𝜋 2 −𝜃 𝑐𝑠𝑐𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑐𝑡𝑔 𝜋 2 −𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃