ANÁLISIS 2º Bachillerato

101 Ordena de menor a mayor los números:

 1’414213562  1’44224957 = 1’44444… Indicamos que se obtienen resultados con la calculadora

102 Dados los conjuntos A = (1, 2), B = [1, 2], C = {1, 2}, halla AB, AC, BC, AB, AC, BC, B-A, B-C, A-C.

B = [1, 2] 2 2 1 1 A = (1, 2) C = { , } AC =  A  B  AB = B C  B  BC = C AC = B A  B  B - A = C C  B  BC = B C  B  B - C = A A  B  A  B = A AC =   A – C = A

103 Escribe como intervalos y como entornos los siguientes conjuntos: a) (-2, 5) d) E0’01(-7) g) {x/|x-3|<2} b) (-2, +) e) E(7) h) {x/ x< - 2} c) (-2, 3) (3, 8) f) E0’1*(0’1) i) {x/ |x+3|<0’2}

(-2, 5) ≡ E3’5(1’5) a) (-2, 5) ½( -2 + 5) = 1’5 |5 – 1’5| = 3’5 Busco el valor medio del intervalo Este es el centro del entorno ½( -2 + 5) = 1’5 Para hallar el radio, no hay más que calcular la distancia entre el centro y los extremos Basta sumar los extremos y dividir por dos Este es el radio del entorno |5 – 1’5| = 3’5 Así que… (-2, 5) ≡ E3’5(1’5)

¡¡ E+(?)!! b) (-2, +) ¡Aquí no hay un valor medio! Además, la distancia al infinito es +∞ ¡¡ E+(?)!!

c) (-2, 3) (3, 8) (-2, 3) (3, 8) = (-2, 8) – {3} Por tanto: E3*(5) 3 8 (-2, 3) (3, 8) = (-2, 8) – {3} El valor medio del intervalo es el 3 Y, además, la amplitud del intervalo es 8 – (-2) = 10 Por tanto: E3*(5) E3 *(5)

d) E0’01(-7) - 7 - 7’01 - 7’01 - 6’99 - 6’99 E0’01(-7) ≡ ( , ) 0’01 RADIO - 7’01 - 7’01 - 6’99 - 6’99 _ + CENTRO E0’01(-7) ≡ ( , )

e) E(7) 7   RADIO -  -  + + _ + CENTRO E(7) ≡ ≡ ( , )

E0’1*(0’1) 0’1 0’2 0’2 E0’1*(0’1) ≡ ( , ) - {0’1} RADIO 0’1 0’2 0’2 _ + CENTRO E0’1*(0’1) ≡ ( , ) - {0’1} (0, 0’1)  (0’1, 0’2)

|x – 3| < 2 g) {x /|x-3|<2} ≡ ( , ) ≡ E3(2) - 2 < x – 3 < 2 - 1 - 1 < x < 5 5 h) {x / x< - 2} ≡ ( - , - 2) |x + 3| < 0’2 -0’2 < x + 3 < 0’2 i) {x / |x+3|<0’2} ≡ ( , ) ≡ E0’2 (- 3) - 3’2 < x < - 2’8 - 3’2 - 2’8

104 Halla la intersección de los entornos E0’01(4) y E0’05(4’05) y después un entorno contenido en dicha intersección

E0’01(4) 4 E0’05(4’05) 4’05 0’01 0’01 0’05 3’99 4’01 _ + _ (4, 4’01) = E0’01(4)  E0’05(4’05) Centro: ½(4 + 4’01) = 4’005 Er(4’005) r < 0’005 Radio máximo: |4 – 4’005| = 0’005

105 Calcula los valores de x que verifican las siguientes igualdades y desigualdades : a) |x+7| = 10 b) |x+7| < 10 c) |x-1|+|x+1| < 2 d) |x-1|·|x+1| = 1

a) |x+7| = 10 x  { -17, 3} b) |x+7| < 10 x  ( -17, 3) X + 7 = 10

Por tanto, NO hay solución |x-1| = 0 ↔ x = 1 |x+1| = 0 ↔ x = -1 c) |x-1|+|x+1| < 2 (I) x < -1 |x-1|+|x+1| < 2 ↔ 1 – x – x – 1 < 2 ↔ - 2x < 2 ↔ x > 1 ABSURDO (II) -1 < x < 1 |x-1|+|x+1| < 2 ↔ 1 – x + x + 1 < 2 ↔ 2 < 2 ABSURDO (III) 1 < x |x-1|+|x+1| < 2 ↔ x – 1 + x + 1 < 2 ↔ 2x < 2 ↔ x < 1 ABSURDO (V) x = 1 |x-1|+|x+1| = 1 – 1 + 1 + 1 = 2 NO SE CUMPLE LA DESIGUALDAD (IV) x = -1 |x-1|+|x+1| = 2 + 0 = 2 NO SE CUMPLE LA DESIGUALDAD Por tanto, NO hay solución

d) |x-1|·|x+1| = 1 |x-1|·|x+1| = 1 ↔ |(x – 1)(x + 1)| = 1 ↔ |x2 – 1| = 1 a) x2 – 1 = 1  x2 = 2  x =  b) x2 – 1 = – 1  x2 = 0  x = 0

107 Dadas las funciones f(x)= y g(x)= , halla f g y g f.

f g(x) = f[g(x)] = f( ) =

112 Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) y = b) y = c) y = Ln|x| d) y =

a) y = Función racional. Hay que estudiar los ceros del denominador: x1 = 0 x2 = 1 x3 = 2 x3 – 3x2 + 2x = 0  x(x2 – 3x + 2) = 0 Por tanto, la función es continua en – {0, 1, 2} Podemos escribir: x3 – 3x2 + 2x = x(x – 1)(x – 2). Entonces: DISCONTINUIDAD DE SALTO INFINITO Análogmente ocurre en los otros dos puntos de discontinuidad.

b) y = Es una función irracional (o radical). Hay que estudiar el dominio de la función, que equivale a resolver la inecuación: = Df Hemos excluído el valor x = 1 porque anula el denominador. Así, la función es continua en todo su dominio.

Hay, pues, una discontinuidad en x = 0 ya que no existe f(0) c) y = Ln|x| Puesto que |x| ≥ 0, Df = - {0} Hay, pues, una discontinuidad en x = 0 ya que no existe f(0) Además, sabemos que: (El valor absoluto hace innecesario analizar los límites laterales) Así pues se trata de una discontinuidad de salto infinito.

d) y = Analizamos si el denominador tiene ceros: tg2x – 1 = 0  tg2x = 1  2x = π/4 + kπ, k Z  x = π/8 + kπ/2, k Z Por otra parte, tg2x NO está definida si 2x = π/2 + kπ, k Z , es decir, si x = π/4 + kπ/2, k  Z Luego la función NO es continua en los valores: x = π/8 + kπ/2, k Z x = π/4 + kπ/2, k  Z DISCONTINUIDADES DE SALTO INFINITO DISCONTINUIDADES EVITABLES

113 Analiza qué tipo de discontinuidades presentan las siguientes funciones: a) y = E(x) b) y = c) y =

a) y = E(x) [Parte entera de x] Conforme se pasa por un valor entero se produce un SALTO FINITO

b) y = Conforme se pasa por un valor entero se produce un SALTO FINITO c) y = x2 + x = x(x + 1) Por tanto, el denominador se anula en x = 0 y en x = -1 SALTO INFINITO en x = 0 EVITABLE en x = -1

114 La función f(x) = xsen(/x) presenta una discontinuidad evitable en x = 0. Intenta justificarlo calculando el valor de limx0 f(x).

puesto que la función seno es acotada. Por tanto, existen los límites laterales, y son iguales a cero, aunque la función NO está definida para x = 0 (denominador nulo) Así pues, se trata de una DISCONTINUIDAD EVITABLE

115 Aplica el teorema de Bolzano a la función y = x7 + x + 2 en el intervalo [-2, 2] comprobando la hipótesis y la tesis.

HIPÓTESIS: f(x) es continua en [a, b] y f(a) tiene distinto signo que f(b). En efecto, la función es continua, por ser polinómica, en [2, 2]. Además, f(2) = (2)7 + (2) + 2 = 128 < 0, y f(2)= 27 + 2 + 2 = 132 > 0. TESIS: Existe al menos un valor c(a, b), tal que f(c) = 0. Es decir, existe una solución para la ecuación x7+ x + 2 = 0 comprendida entre –2 y 2 . En efecto, puede obtenerse por el método de Ruffini la raíz x = 1, o sea, c = 1.

116 Aplica el teorema de Weierstrass a la función y = 8 + 2x – x2 en el intervalo [-1, 4], comprobando la hipótesis y la tesis.

HIPÓTESIS: f(x) es continua en [a, b]: Se cumple por ser un polinomio (de 2º grado). TESIS: f(x) alcanza un máximo y un mínimo absolutos en [-1, 4]. Recordando que la gráfica de esta función es una parábola, hallamos su vértice en (-1/8, 9). Como –1/8  [-1, 4], ya tenemos el valor máximo absoluto: f(-1/8)=9. El mínimo se alcanzará en uno de los extremos del intervalo: f(–1)= 8 + 2·(–1) – (–1)2 = 5; f(4) = 8 + 2·4 – 42 = 0. Así que el mínimo absoluto se alcanza para x = 4 y vale 0.

Estudia y representa gráficamente la función y =

– – + – 1. Domf = - {0} 2. Simetrías NO hay simetría PAR ni IMPAR 8 NO hay simetría PAR ni IMPAR –1 No es periódica: f. racional. 3. Asíntotas Por definición del dominio, asíntota vertical: x = 0 Asíntotas horizontales: Por tanto, y = –1 es asíntota horizontal. Y por ser asíntota a izquierda y derecha, no puede haber asíntota oblícua. 4. Cortes con el eje OX (con OY no puede cortar por ser asíntota vertical): y = 0  (x – 2)(8 – x) = 0  x = 2 o x = 8  (2, 0) y (8, 0) Signos: Señalamos en la recta real los cortes con el eje OX y los puntos de discontinuidad. f(–1) = –27 f(1) = –7 f(4) = 0,5 f(10) = –0,16 – – + –

– + – 5. Monotonía. Extremos relativos 2 8 –1 y ‘ = 0  x = 16/5  Punto crítico: Ahora hacemos un estudio del signo igual que hemos hecho con f(x): f ‘(–1) < 0 f ‘(1) > 0 f ‘(5) < 0 – + – MÁXIMO RELATIVO DECRECIENTE en (–, 0)( , +) CRECIENTE en (0, )

–  –  +  6. Curvatura. Puntos de inflexión. y” = 0  x = 24/5 8 –1 y” = 0  x = 24/5 Ahora hacemos un estudio del signo igual que hemos hecho con y e y’: f “(–1) < 0 f “(1) < 0 f “(5) > 0 –  –  +  CÓNCAVA en (–, 0)(0, ) CONVEXA en ( , +) PUNTO DE INFLEXIÓN: Recapitulando, llevamos a la gráfica los resultados anteriores, y obtendremos:

Estudia y representa gráficamente la función y =

1. Domf = 2. Simetrías NO hay simetría PAR ni IMPAR No es periódica: Polinomio X Exponencial 3. Asíntotas Asíntotas verticales: No hay. Para que y  , debe ser x   Asíntotas horizontales: Por tanto y = 0 es asíntota horizontal por la izquierda. Y por ser asíntota por la izquierda, no puede haber asíntota oblícua por la izquierda. Estudiamos si hay asíntota oblicua por la derecha: Por tanto NO hay asíntotas oblicuas.

+ – + 4. Cortes con el eje OX : y = 0  x2ex = 0  x = 0  (0, 0) Este punto tambien es de corte con el eje OY. Signos: La exponencial es siempre positiva y x2 es no negativa. Por tanto f(x)  0 5. Monotonía. Extremos relativos y ‘ = 0  x2 + 2x = 0  x = 0 o x = –2  Puntos críticos: (0, 0) y Ahora hacemos un estudio del signo de y’: Dibujamos la recta real y los puntos críticos: f ‘(–3) = 3e–3 > 0 f ‘(–1) = –e–1 < 0 f ‘(1) = e > 0 + – + CRECIENTE en (–, –2)( 0, +) MÁXIMO RELATIVO DECRECIENTE en (–2, 0) (0, 0) MÍNIMO RELATIVO

+  –  +  6. Curvatura. Puntos de inflexión. y” = 0  x2 + 4x + 2 = 0 Ahora hacemos un estudio del signo igual que hemos hecho con y’: f “(–4) > 0 f “(-1) < 0 f “(0) > 0 +  –  +  CONVEXA en (–, )( , +) CÓNCAVA en Por tanto, hay dos PUNTOS DE INFLEXIÓN en: (-3,41…, 0,38…) y (-0,58…, 0,19…) Recapitulando, llevamos a la gráfica los resultados anteriores, y obtendremos: