Leyes de los senos y de los cosenos

B C a b c A Notación Utilizaremos letras mayúsculas como A, B y C, para representar a los ángulos de un triángulo, y letras minúsculas a,b y c, para representar los lados opuestos correspondientes.

A B C c a b A B C c a b Ley de los senos Si ABC es un triángulo con lados a, b y c, entonces, a/Sen A = b/Sen B = c/ Sen C

C A B c a b Aplicaciones: Ejemplo 1(Resolución de triángulos). En el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y lados restantes.

Solución: El tercer ángulo del triángulo es A = B - C = 49 grados. Usando que b = 27.4 se obtiene, a = (27.4/Sen 28.7) Sen 49 = mts. Y c = (27.4/Sen 28.7)Sen = mts. Por la ley de los senos tenemos que: a/Sen 49 = b/Sen 28.7 = c/Sen 102.3

A B C kms. D N S E O Ejemplo. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe llegar al punto B localizado a 52 grados al suroeste. Después se debe ir hasta el punto C que está a 40 grados al sureste y finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 kms al norte del punto A. Calcule la distancia total del recorrido. Solución: Como las líneas BD y AC son paralelas, entonces <DBC=<BCA. Entonces el otro ángulo del triángulo es B = = 88 grados. Por la ley de los senos tenemos que: a/Sen 52 = b/Sen 88. Pero b=8, entonces a = (8/Sen 88)Sen 52 = kms. Ahora calculamos c y sumamos las tres distancias.

Ley de los cosenos Forma estándar Forma alternativa a 2 = b 2 + c 2 –2bc cos A Cos A = (1/2bc) (b 2 + c 2 – a 2 ) b 2 = a 2 + c 2 –2ac cos B Cos B = (1/2ac) (a 2 + c 2 – b 2 ) c 2 = a 2 + b 2 –2ab cos C Cos C = (1/2ab) (a 2 + b 2 – c 2 ) Observe que si A=90, entonces a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y de la primera relación se obtiene que a 2 = b 2 + c 2 Entonces el Teorema de Pitágoras es un caso particular de la ley de los cosenos. En un triángulo de ángulos A, B, C y lados a, b, c, se cumplen las siguientes relaciones:

B b=19 mts. C c=14 mts. A a=8 mts. Ejemplo. Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 8 mts., b = 19 mts., c=14 mts. Solución. Por la ley de los cosenos tenemos que Cos B = (1/2ac) (a 2 + c 2 – b 2 ) = (1/2)(8)(14) ( – 19 2 ) = Como Cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho, B = grados. Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues a/Sen A = b/Sen B, o bien Sen A = a(Sen B/b) = Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces, A=22.08 grados.