@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 7 * 4º ESO E. AC. TRIGONOMETRÍA.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 7 * 4º ESO E. AC. TRIGONOMETRÍA

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS U.D. 7.6 * 4º ESO E. AC.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B3 Todo polígono se puede descomponer en triángulos. Si además estos triángulos son rectángulos podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para hallar distancias: a 2 = b 2 + c 2. Y además, gracias a la Trigonometría, no será necesario conocer dos lados para hallar el tercero si conocemos algún ángulo interior agudo. Sabemos que: sen C = c / a  c = a. sen C cos C = b / a  b = a. cos C tag C = c / b  c = b. tan C RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS A b C c a B B C A=90º Hipotenusa Igualmente tenemos: sen B = b / a  b = a. sen B cos B = c / a  c = a. cos B tag B = b / c  b = c. tag B

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B4 Hallar los lados y los ángulos del siguiente triángulo rectángulo donde la hipotenusa mide 5 metros y un ángulo agudo 30º. Resolución No podemos emplear el Teorema de Pitágoras. Sea el ángulo C =30º Como: sen C = c / a Despejamos c: c = a. sen C c = 5. sen 30º = 5.0,5 = 2,50 m Ahora podemos ya emplear el Teorema de Pitágoras para hallar el lado b. a 2 = b 2 + c 2  b = √(5 2 – 2,50 2 ) b = 4,33 m Ángulo B = 90 – C = 90 – 30 = 60º Ejemplo 1 A b C c a = 5 m B B 30º A=90º Hipotenusa

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B5 Hallar los lados y los ángulos del siguiente triángulo rectángulo donde un cateto mide 3 metros y el ángulo adyacente al mismo mide 30º. Resolución No podemos emplear el Teorema de Pitágoras. Sea el ángulo C =30º Como: cos C = b / a Despejamos a: a = b / cos C a = 3 / cos 30º = 3 / 0,866 = 3,46 m Ahora podemos ya emplear el Teorema de Pitágoras para hallar el lado c. a 2 = b 2 + c 2  c = √(3,46 2 – 3 2 ) c = 1,73 m Ángulo B: B = 90 – C = 90 – 30 = 60º Ejemplo 2 A b = 3 m C c a B B 30º A=90º Hipotenusa

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B6 Problema 1 Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo, que vale 80 cm, y el ángulo que forma la diagonal con la base, que es de 60º. ¿Qué tiene que medir el alto para que el marco esté bien hecho?. Como la ventana ha de ser un rectángulo, se debe cumplir el Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2  a 2 = 8 2 + h 2  Al conocer un ángulo agudo, podemos poner que: Tg α = h / 80  h = 80. tg 60º h=80.√3 = 80.1,732 = 138´56 cm Problema 1 α=60º h 80 cm

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B7 Problema 2 Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de modo que el ángulo que forma con el suelo es de 75º. ¿Qué altura alcanza la escalera en estas condiciones?. ¿Cuánto está separada de la pared? Por definición de seno de un ángulo: Sen 75º = h / 13 De donde h = 13. sen 75º = = 13.0,9659 = 12,5570 m Aplicando el Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + h 2  13 2 = b 2 + 12,5570 2 169 = b 2 + 157,6782 b 2 = 169 – 157,6782 = 11,3218 b = √11,3218 = 3,3648 m hasta la pared Problema 2 13 m h b 75º

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B8 Problema 3 Un romboide presenta una base que mide 12 cm, una altura de 8 cm y un ángulo agudo de 45º. Hallar el perímetro y el área del romboide. Por la definición del seno de un ángulo: Sen 45º = 8 / I De donde l = 8 / (√2/2) I = 11,3137 cm Siendo I el lado oblicuo. P=2b+2l = 2.12+2.11,3137 = 46,33 A = b.h = 12.8 = 96 cm2 12 cm l l 8 cm 45º Problema 3

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B9 Problema 4 Los lados de un rombo forman un ángulo obtuso de 120º y la diagonal mayor mide 30 cm. Hallar el perímetro. Resolución: En el triángulo rectángulo resaltado, en rojo, por el Teorema de Pitágoras: l = √ [ (D/2) 2 + (d/2) 2 ] Por definición de seno de un ángulo: Sen 120º/2 = (30 / 2) / I Donde I = 15 / sen 60º = 17,32 cm Luego P = 4.I = 4.17,32 = 69,28 cm ll l l d Problema 4 D=30 cm 120º

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B10 b=5 B = 13 l l h 60º Problema 5 Problema_5 Las bases de un trapecio isósceles miden 13 y 5 cm; y el ángulo agudo mide 60º. Hallar el perímetro y el Área. Resolución: (B – b) / 2 = (13 – 5)/2 = 4 cm, que es el cateto menor del triángulo rectángulo señalado en rojo. Por trigonometría: Tg 60º = h / 4  h = 4.tg 60º = = 6,9282 cm Por Pitágoras, el lado oblicuo será: l = √ (6,9282 2 + 4 2 ) = √ 64 = 8 cm Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h El perímetro es P = B+b+ 2.l A = [(13+5)/2].6,9282 = 62,35 cm2 P = 13+5+2.8 = 18+16 = 34 cm

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B11 d D 4 cm 75º h Problema 6 Problema _6 Un prisma rectangular tiene de base un rectángulo de 3 x 4 cm, y el ángulo que forma la diagonal de la base con la diagonal del prisma es de 75º. Hallar el volumen del prisma. La diagonal de la base: d= √(l2 + a2) = √(16 + 9) = √ 25 = 5 cm Por Trigonometría: Tg 75º = h / d 3,72 = h / 5  h = 3,72.5 = 18,60 cm Volumen: V = l.a.h = 3.4.18,60 = 223,20 cm3 3 cm

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B12 h 4 cm 75º h Problema 7 Una pirámide regular tiene de base un cuadrado de 4 cm de lado, y el ángulo que forma la base con la cara lateral es de 75º. Hallar el área y el volumen del prisma. La altura de la pirámide, h: Tg 75º = h / (l/2)  h = (4/2).3,732 = 7,46 cm Por Trigonometría: Cos 75º = 2 / Apo  Apo = 2/0,26 = 7,73 cm Area: A = l 2 + p.Apo/2 = 4 + 62 = 66 cm2 V = l.a.h = 3.4.18,60 = 223,20 cm3 4 cm