REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Dominio. Continuidad. Domf = {x / f(x)} Simetrías. Periodicidad Simetría PAR: f(-x) = f(x) Simetría IMPAR: f(-x) = -f(x) Período k: f(x + k) = f(x) Asíntotas. A. Vertical: x = k ,, lim xk f(x) = ±∞ A. Horizontal: y = h = lim x±∞f(x) A. Oblicua: y = mx + n m = lim x±∞f(x)/x n = lim x±∞[f(x) – mx] Cortes con los ejes. Signos. Cortes con OX: x ,, f(x) = 0 Cortes con OY: y = f(0). Monotonía. Extremos relativos. f ‘(x) = 0  (x, f(x)) Punto crítico ¿Extremos relativos? [f”(x)≠0] f ‘(x) > 0  f. CRECIENTE f ‘(x) < 0  f. DECRECIENTE Curvatura. Puntos de inflexión f”(x) = 0  ¿Puntos de inflexión? [f ‘’’(x) ≠ 0] f”(x) > 0  f. CONVEXA () f”(x) < 0  f. CÓNCAVA ()

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Ejemplo 1: y = 1. Domf = - {1} 2. Simetrías f(-x) = = = -f(x) Por tanto hay simetría IMPAR Por comodidad, podemos limitarnos a estudiar sólo la parte positiva. No es periódica: f. racional. 3. Asíntotas Por definición del dominio, asíntotas verticales: x = 1 No tiene asíntotas horizontales: Asíntotas oblicuas: m = n =  y = x

–  REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 4. Cortes con los ejes: Ejemplo 1: y = 4. Cortes con los ejes: OX: y = 0 x3 = 0  x = 0  (0, 0) Por tanto también es corte con OY. Signos: Señalamos en la recta real los cortes con los ejes y los puntos de discontinuidad. f(½) = -1/6 < 0 –  f(2) = 8/3 > 0 Tomamos un valor cualquiera dentro de cada intervalo y evaluamos la función en dicho valor. El signo que tenga se mantendrá a lo largo de todo el intervalo.

–  – REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Ejemplo 1: y = 5. Monotonía. Extremos relativos f ‘(x) = f ‘(x) = 0  x = 0 o x =  Ahora hacemos un estudio del signo igual que hemos hecho con f(x) f ‘(½) = -11/9 < 0  f ‘(2) = 4/9 > 0 – – f ‘(1’5) = -27/25 < 0 Tomamos un valor cualquiera dentro de cada intervalo y evaluamos f ‘(x) en dicho valor. El signo que tenga se mantendrá a lo largo de todo el intervalo. Por tanto, la función es DECRECIENTE en (0, 1)(1, ), y CRECIENTE en ( , +). Además, como cambia de decreciente a creciente, hay un MÍNIMO RELATIVO en ( , ) .

–  REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Ejemplo 1: y = 6. Curvatura. Puntos de inflexión. f “(x) = f “(x) = 0  x = 0 Ahora hacemos un estudio del signo igual que hemos hecho con f(x) y f ‘(x) f “(½) = -208/27 < 0 f “(2) = 28/27 > 0 –  Tomamos un valor cualquiera dentro de cada intervalo y evaluamos f “(x) en dicho valor. El signo que tenga se mantendrá a lo largo de todo el intervalo. Por tanto, la función es CÓNCAVA () en (0, 1), y CONVEXA () en (1, +). Además, teniendo en cuenta la simetría impar, el punto (0, 0) es un PUNTO DE INFLEXIÓN, puesto que la gráfica cambia de convexa a cóncava.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Ejemplo 1: y = Recapitulando, llevamos a la gráfica los resultados anteriores, y obtendremos: Y por simetría impar…

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Ejemplo 2: y = 1. Domf = (0, 1)(1, + ) 2. Simetrías Por la propia estructura del dominio, no puede haber simetría PAR ni IMPAR. Tampoco PERIODICIDAD. 3. Asíntotas Puesto que el denominador se anula en x = 1, hay una asíntota vertical: x = 1 No tiene asíntotas horizontales: Asíntotas oblicuas: m =  Tampoco hay asíntotas oblícuas.

–  REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 4. Cortes con los ejes: Ejemplo 2: y = 4. Cortes con los ejes: OX: y = 0 x = 0 Domf Por el mismo motivo no puede cortar el eje OY. Signos: Señalamos en la recta real los cortes con los ejes y los puntos de discontinuidad. f(½) = -1/(2Ln2) < 0 –  f(2) = 2/Ln(2) > 0 Tomamos un valor cualquiera dentro de cada intervalo y evaluamos la función en dicho valor. El signo que tenga se mantendrá a lo largo de todo el intervalo. En este caso convendría saber de donde “nace” la gráfica, para lo que calculamos:

– –  REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Ejemplo 2: y = 5. Monotonía. Extremos relativos f ‘(x) = f ‘(x) = 0  Lnx = 1  x = e Ahora hacemos un estudio del signo igual que hemos hecho con f(x) Tomamos un valor cualquiera dentro de cada intervalo y evaluamos f ‘(x) en dicho valor. El signo que tenga se mantendrá a lo largo de todo el intervalo. f ‘(½)  -3’5 < 0 f ‘(3)  0’08 > 0 – –  f ‘(2)  -0’6 < 0 Por tanto, la función es DECRECIENTE en (0, 1)(1, e) y CRECIENTE en (e, +). Además, como cambia de decreciente a creciente, hay un MÍNIMO RELATIVO en (e, e) .

– –  REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Ejemplo 2: y = 6. Curvatura. Puntos de inflexión. f “(x) = f “(x) = 0  Ln(x) = 2  x = e2 Ahora hacemos un estudio del signo igual que hemos hecho con f(x) y f ‘(x) Tomamos un valor cualquiera dentro de cada intervalo y evaluamos f “(x) en dicho valor. El signo que tenga se mantendrá a lo largo de todo el intervalo. –  – f “(½)  -16’2 < 0 f “(2)  1’96 > 0 f “(8)  -0’001 < 0 Por tanto, la función es CÓNCAVA () en (0, 1)(e2, +), y CONVEXA () en (1, e2). Además, puesto que hay cambio de convexidad a concavidad, el punto (e2, e2/2) es un PUNTO DE INFLEXIÓN.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Ejemplo 2: y = Recapitulando, llevamos a la gráfica los resultados anteriores, y obtendremos: (e2, e2) (e, e)

FIN DEL CAPÍTULO