Volumen por método de los discos Reyes Ocampo Héctor Alfonso Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Método de los discos Fácil de entender Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Aplicación importante de la integral la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Donde R es el radio del disco y w es la anchura. Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo como se muestra en la figura. El volumen de este disco es Volumen del disco = R2w Donde R es el radio del disco y w es la anchura. Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, considérese el sólido de revolución obtenido al girar la región plana de la figura alrededor del eje indicado. Para calcular el volumen de este sólido, consideremos un rectángulo representativo en la región plana. Cuando se gira este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es: V = R2 x Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

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Volumen del sólido   [R(xi)]2 x =  [R(xi)]2 x i=1 i=1 Si aproximamos el volumen de un sólido por n de tales discos de anchura x y de radio R(xi), tenemos n n Volumen del sólido   [R(xi)]2 x =  [R(xi)]2 x i=1 i=1 Tomando el límite ||||  0 (n ), tenemos n Volumen de un sólido = lim  [R(xi)]2 x =  [R(x)]2 dx n = i=1 Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Esquemáticamente, representamos el método de discos: Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Fórmula vista Elemento Nueva formula En precálculo Representativo de integración Volumen del disco V= R2w V= [R(xi)]2x V=  ab [R(x)]2 dx El MÉTODO DEL DISCOS Para calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de discos, úsese una de las fórmulas siguientes. Eje horizontal de revolución Eje vertical de revolución Volumen = V=  [R(x)]2 dx Volumen = V =  [R(y)]2 dy Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Método de los discos Difícil de entender Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Método de los discos Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Uso del método Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución. Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida. Elegimos una partición regular de [a, b]: Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es: Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

la altura (anchura) de los cilindros parciales siendo: . la altura (anchura) de los cilindros parciales el radio de los cilindros parciales Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es decir: Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que: Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar: Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Ejemplos Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

entre 0 y . Su volumen es igual a . •  El volumen de la esfera obtenida girando la circunferencia alrededor del eje OX es igual a   . •  Un cono circular recto de altura y radio de la base se obtiene girando la recta entre 0 y . Su volumen es igual a . Calculo II Hector Reyes 24/02/2019

Solución: Se observa que el radio de este sólido viene dado por: Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por la gráfica de f(x) = y el eje x(0  x  ) alrededor del eje x. Solución: Se observa que el radio de este sólido viene dado por: R(x) = f(x) = Y se sigue que su volumen es: V=  [R(x)]2 dx = dx = dx = -  cos x =  (1+1) =2 Calculo II Hector Reyes 24/02/2019