Integrales impropias
Integrales impropias En todo el estudio hecho hasta ahora se han utilizado dos propiedades fundamentales: la función tenía que ser acotada y el intervalo de integración tenía que ser cerrado y acotado. Ahora extenderemos el Cálculo Integral a: Funciones definidas en intervalos no acotados: integrales impropias de primera especie, (límites infinitos de integración o integrales con extremos infinitos). 2. Funciones no acotadas: integrales impropias de segunda especie, (o integrandos infinitos).
Límites infinitos de integración (integrales impropias de primera especie) Si f es una función continua en el intervalo [a,∞), entonces se define la integral impropia 𝑎 ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑏→∞ 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ∈ ℝ
Límites infinitos de integración (integrales impropias de primera especie) Si f es una función continua en el intervalo (-∞,b], entonces se define la integral impropia −∞ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑎→−∞ 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 ∈ ℝ
Límites infinitos de integración (integrales impropias de primera especie) Si f es una función continua en el intervalo (-∞, ∞), entonces se define la integral impropia −∞ ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= −∞ 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+ c ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 ∈ ℝ =lim 𝑎→−∞ 𝑎 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + lim 𝑏→∞ 𝑐 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Límites infinitos de integración (integrales impropias de primera especie) En cada caso, si el límite es finito, se dice que la integral es convergente y que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe la integral impropia es divergente.
Ejemplos
Integrandos infinitos (integrales impropias de segunda especie)
Integrandos infinitos (integrales impropias de segunda especie)
Integrandos infinitos (integrales impropias de segunda especie)
Integrandos infinitos (integrales impropias de segunda especie) Ejemplos