CÁLCULO IV TRANSFORMADA DE LAPLACE

CASO 01: ENSAYO DE FLEXIÓN DE UNA VIGA DE CONCRETO REFORZADO Observa un video sobre ensayo de flexión de una viga de concreto reforzado. Responde las preguntas: ¿Qué entendemos por Transformada de una función? ¿Cómo se calculan las integrales impropias? Se esfuerza por responder la pregunta: ¿Cómo se calcula la transformada de Laplace directa e inversa?

Integrales Impropias Recordar

Logro de la sesión: Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante calcula la Transformada de Laplace directa e inversa de ciertas funciones, a partir de la definición y propiedades, demostrando seguridad de cálculo operativo.

Temario 1.Introducción. 2.Transformada de Laplace (TL). 3.Ejemplos. 4.Tabla de Transformada de Laplace 5.Transformada Inversa de Laplace (TIL). 6.Ejemplos.

INTRODUCCIÓN La Transformada de Laplace es un ejemplo de una clase llamada TRANSFORMADA INTEGRAL y transforma una función f(t) de una variable t (tiempo) en una función F(s) de variable s (frecuencia compleja). La atracción de la transformada de Laplace es que transforma ecuaciones diferenciales en el dominio t (tiempo) en ecuaciones diferenciales en el dominio s (frecuencia).

Ec. Diferencial Transformada de Laplace Ec. Algebraica IDEA CENTRAL

Ec. Algebraica Solución de la Ec. Diferencial Inversa de la Transformada de Laplace IDEA CENTRAL

Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como: La Transformada de Laplace (TL) donde S es una variable compleja S=a+ib y es llamado el núcleo de la transformación. Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.

OBSERVACIÓN: 1.Es común denotar L{f(t)} por F(s) o simplemente F. Así: 2. Es usual referirse a f(t) y F(s) como el par de Transformada de Laplace escrito como {f(t),F(s)}. 3. Como el dominio de integración es infinito, la integral es una integral impropia. Así:

Ejemplo 01: Calcula la transformada de Laplace de f(t) = 1: Solución: Aplicando la definición se tiene:

Ejemplo 02: Calcula la transformada de Laplace de f(t) = e mt Solución: Aplicando la definición se tiene: De aquí se tiene

Ejemplo 03: Calcula la transformada de Laplace de: Solución: Aplicando la definición se tiene:

Ejemplo 04: Calcula la transformada de f(t) = senbt y g(t)=cosbt Solución: De la formula de Euler, se sabe que, Por lo que,

Condiciones suficientes de existencia de la Transformada de Laplace Definición “Se dice que f(t) es seccionalmente continua (o continua a trozos) en [a, b] = I, si f(t) es continua en todos los puntos de I, excepto quizá en un nº finito de ellos, en los que f(t) deberá tener límites laterales finitos” “Se dice que f(t) es seccionalmente continua en [0, ∞), si lo es en [ 0, T ], " T > 0” Definición

Teorema: Si f(t) es continua a trozos y de orden exponencial en [0, ∞), entonces existe y esta definida al menos para Re(s)>a

Propiedad de linealidad Si c 1 y c 2 son constantes, f 1 (x) y f 2 (x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F 1 (x) y F 2 (x), respectivamente; entonces: La transformada de Laplace es un operador lineal. Como corolario, la transformada inversa también satisface la propiedad de linealidad:

Calcule la Transformada de Laplace de f(t) = 3e t + 5e -2t + 6 Solución: Aplicando propiedad de linealidad se tiene: Ejemplo 05:

Transformada de Laplace de Polinomios La transformada de Laplace de un polinomios es: Calcule la Transformada de Solución: Usando la propiedad de linealidad y la formula anterior se llega a

Calcula la transformada de f(t) = t n :

TABLA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE

Transformada de Laplace Inversa (TIL) Si F(s) está dada y existe una función continua f(t) tal que L{f(t)}=F(s), entonces f(t) es la única función continua para la que L{f(t)}=F(s) Para funciones continuas por partes el resultado es un poco mas técnico. Si f(t) y g(t) son funciones continuas por partes y L{f(t)}=L{g(t)}, entonces f(t)=g(t) excepto en un número finito de puntos en cualquier intervalo finito Teorema: Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace, y se denotará por Nota:

Solución: Se sabe que: entonces Calcule la Transformada inversa F(s)=1/(s-a) Ejemplo 06:

Calcule la Transformada inversa de Solución: Como entonces Por lo tanto: Ejemplo 07:

Calcule la Transformada inversa de Solución: Como entonces Por lo tanto: Ejemplo 08:

Calcule la Transformada inversa de Solución: Aplicando propiedad de linealidad se tiene: Por lo tanto: Ejemplo 08:

Calcule la Transformada inversa de Ejemplo 09:

CASO 01: ENSAYO DE FLEXIÓN DE UNA VIGA DE CONCRETO REFORZADO Observa un video sobre ensayo de flexión de una viga de concreto reforzado. Responde las preguntas: ¿Qué entendemos por Transformada de una función? ¿Cómo se calculan las integrales impropias? Se esfuerza por responder la pregunta: ¿Cómo se calcula la transformada de Laplace directa e inversa?