Una de las aplicaciones Una de las aplicaciones. Planillas de costos, sueldos, ganancias , producción…

Desafio. Calcular el área de la suma de los 10 rectángulos generados por la función f(x) , según indica la figura.

desafío Calcular. La suma de los 30 primeros números naturales. La suma de los 20 primeros múltiplos de 4 de la sucesión natural. La suma de los 15 números impares comprendidos entre 20 y 50 de la sucesión natural La suma de los 10 primeros cuadrados de los números naturales. Se recomienda aplicar estrategias.

Sumatorias 𝑘=1 𝑘=𝑛 𝑎 𝑛 Concepto: La suma de los términos de una sucesión 𝑎 𝑛 , se expresa como 𝑘=1 𝑘=𝑛 𝑎 𝑛 donde k=1 y k=n es el rango de valores que toma esta expresión. Ej. 1) 𝑛=1 𝑛=10 𝑛 𝑛+1 = 1 2 + 2 3 + 3 4 + − + 10 11 2) 𝑛=1 𝑛=5 𝑛 2 =1+4+9+16+25

Nuevo desafío! Complete la tabla y obtenga la sumatoria de la tercera colummna. Valores de n 2 𝑛 2 −1 Valor 1 2 ∗1 2 −1 2   3 4 5 6 7 8 9 10 Suma. 1 10 ( 2 𝑛 2 −1)=

Propiedades de las sumatorias. Sumatoria de una constante. K1=K2=K3------------------------Kn=K1; entonces 𝑛=1 𝑛 𝐾𝑛=𝐾∗𝐶 en efecto. Desarrollando: 𝑛=1 𝑛 𝐾𝑛= 𝑘 1 + 𝑘 3 + 𝑘 4 +−−−−−𝐾𝑛 , de donde 𝑛=1 𝑛 𝐾𝑛=𝑛𝐾 , esto porque , 𝑘 1 = 𝑘 2 = 𝑘 3 = 𝑘 4 =………..=𝐾𝑛 Ejemplo, 𝑛=1 6 4=4+4++4+4+4+4=4∗6=24

Sumatoria del producto de una constante por los términos de una sucesión. Sea k la constante, entonces: 𝑛=1 𝑛 𝑘𝐴𝑛=𝑘 𝑛=1 𝑛 𝐴𝑘 En efecto, desarrollando: 𝑛=1 𝑛 𝑘𝑎 k = 𝑘𝑎1+𝑘𝑎2+... 𝑘𝑎n = 𝑘(𝑎1+𝑎2+... 𝑎n) 𝑛=1 𝑛 𝑘𝐴𝑘 =𝑘 𝑛=1 𝑛 𝐴𝑛 Ej.: Calculemos 𝑛=1 5 3 𝑛 2 +1 =3 𝑛=1 5 ( 𝑛 2 +1) =3(2+5+10+17+26) =3∙60 =180

Sumatoria de la suma o resta de términos de dos o más sucesiones Sumatoria de la suma o resta de términos de dos o más sucesiones. Sean 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 dos sucesiones, entonces: Se verifica: 𝑛=1 𝑛 𝑎 𝑛 ±𝑏𝑛 = 𝑛=1 𝑛 𝑎 𝑛 ± 𝑛=1 𝑛 𝑏𝑛 En efecto, 𝑛=1 𝑛 𝑎 𝑛 ±𝑏𝑛 =(𝑎 1±𝑏1)+( 𝑎 2 ±𝑏2)±…( 𝑎 𝑛 ±𝑏𝑛)=(𝑎1+𝑎2…𝑎n)±(𝑏1+𝑏2+...+𝑏n)

Ejemplo: 𝑛=1 4 𝑛 2 −3𝑛+2 = 𝑛=1 4 𝑛 2 −3 𝑛=1 4 𝑛+ 𝑛=1 4 2 𝑛=1 4 𝑛 2 −3𝑛+2 = 𝑛=1 4 𝑛 2 −3 𝑛=1 4 𝑛+ 𝑛=1 4 2 = 1+4+9+16 −3 1+2+3+4 +4∙2 =30−3∙10+8 =30−30+8 =8 Calculando Directamente 𝑛=1 4 (𝑛 2 −3𝑛+2) =0+0+2+6=8

Importante: La sumatoria de un producto es distinto del producto de las sumatorias: 𝑛=1 𝑛 ∙ 𝑎 𝑛 ∗𝑏 𝑛 ≠ 𝑛=1 𝑛 𝑎 𝑛 ∙ 𝑛=1 𝑛 𝑏 𝑛 ;𝑛>1   Ej.: 𝑛=1 3 𝑛+1 ∙ 𝑛 2 =2∙1+3∙4−4∙9 Sin embargo: 𝑛=1 3 (𝑛+1)∙ 𝑛=1 3 𝑛 2 =(2+3+4)∙(1+4+9) =9∙14=126

Tampoco es válido para el cociente. 𝑛=1 𝑛 ∙ 𝑎 𝑛 :𝑏 𝑛 ≠ 𝑛=1 𝑛 𝑎 𝑛 : 𝑛=1 𝑛 𝑏 𝑛 ;𝑛≠0 La sumatoria de una potencia es distinta a la potencia de una sumatoria. 𝑛=1 𝑛 𝑛 𝑝 ≠ 𝑛=1 𝑛 𝑛 𝑝 ;𝑛>1   Ej.: 𝑛=1 3 𝑛 2 =1+4+9=14 𝑛=1 3 𝑛 2 = 1+2+3 2 = 6 2 =36

Propiedad Telescópica de las Sumatoria  El desarrollo de algunas sumatorias tiene la particularidad de que con todos sus términos se anulan, quedando estas reducidas a sólo dos términos. Esta propiedad se denomina propiedad telescópica. Consideremos: 𝑛=1 𝑛 (𝐴 n+1 −𝐴n)=(𝐴2−𝐴1)+(𝐴3−𝐴2)+(𝐴4−𝐴3)+... − 𝐴𝑛−𝐴𝑛−1 +(𝐴𝑛+1−𝐴𝑛) 𝑛=1 𝑛 (𝐴 n+1−𝐴𝑛)=𝐴2−𝐴1−𝐴3−𝐴2−𝐴4−𝐴3+... −+𝐴𝑛−𝐴𝑛−1+𝐴𝑛+1+𝐴𝑛 𝑛=1 𝑛 (𝐴 n+1 −𝐴𝑛)=𝐴n+1−𝐴1 que equivale a: 𝑛+1 𝑛 (𝐴𝑛−𝐴 n+1)=𝐴1−𝐴n+1

La propiedad telescópica de las sumatorias también es válida para la sumatoria de los recíprocos de los términos vistos en casos anteriores, de modo que: 𝑛=1 𝑛 1 𝐴𝑛+1 − 1 𝐴𝑛 o bien 𝑛=1 𝑛 1 𝐴𝑛 − 1 𝐴𝑛+1 = 1 𝐴1 − 1 𝐴𝑛+1 Ejemplos: 1) 𝑛=1 𝑛 𝑛+1 −𝑛 =𝑛+1−1 2) 𝑛=1 𝑛 𝑛+1 −𝑛 =𝑛 𝑛=1 𝑛 𝑥 𝑥 +1 − 𝑥 𝑛 = 𝑋 𝑛 +1 − 𝑋 1 3) 𝑛=1 𝑛 𝑛+1 𝑝 − 𝑛 𝑝 = 𝑛+1 𝑝 − 1 𝑝 = 𝑛+1 𝑝 −1   4) 𝑛=1 𝑛 ( 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛 +1 ) ⇒− 𝑛=1 𝑛 𝑛 𝑥 +1 − 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 +1 −𝑥 /∙-1 𝑛=1 𝑛 𝑥 𝑛 +1 − 𝑥 𝑛 =𝑥− 𝑥 𝑛 +1 5) 𝑛=1 𝑛 1 𝑥 𝑛 +1 − 1 𝑥 𝑛 = 1 𝑥 𝑛 +1 − 1 𝑥

Suma de los enésimos primeros números impares. 𝑛=1 𝑛 (2𝑛−1) Podemos “arreglar” la expresión sumando y restando n2 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 +2𝑛−1− 𝑛 2 = ( 𝑛 2 − 𝑛 2 −2𝑛+1 ) 𝑛=1 𝑛 2𝑛−1 = 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 − 𝑛−1 2 = 𝑛 2 − 0 2 𝑛=1 𝑛 2𝑛−1 = 𝑛 2

Suma de las primeras enésimas potencias reciprocas de un numero K 𝑛=1 𝑛 1 𝑘 𝑛 Aplicando la propiedad telescópica, 𝑛=1 𝑛 1 𝑘 𝑛 − 1 𝑘 𝑛 +1 𝑛=1 𝑛 1 𝑘 𝑛 − 1 𝑘 𝑛 +1 = 1 𝑘 − 1 𝑘 𝑛 +1 𝑛=1 𝑛 1 𝑘 𝑛 − 𝑛=1 𝑛 1 𝑘 𝑛 +1 = 𝑘 𝑛 +1 −𝑘 𝑘( 𝑘 𝑛 +1 ) 𝑛=1 𝑛 1 𝑘 𝑛 − 𝑛=1 𝑛 1 𝑘 𝑛 ∙ 1 𝑘 = 𝑘 𝑛 ∙𝑘−𝑘 𝑘( 𝑘 𝑛 +1 ) 𝑛=1 𝑛 1 𝑘 𝑛 − 1 𝑘 𝑛=1 𝑛 1 𝑘 𝑛 = 𝑘( 𝑘 𝑛 −1) 𝑘( 𝑘 𝑛 +1) 1− 1 𝑘 𝑛=1 𝑛 1 𝑘 𝑛 = 𝑘 𝑛 −1 𝑘 𝑛 +1

𝑘−1 𝑘 𝑛=1 𝑛 1 𝑘 𝑛 = 𝑘 𝑛 −1 𝑘 𝑛 +1 / ∙ 𝑘 𝑘−1 n=1 n 1 k n = k n −1 k n+1 ∙ k k−1 n=1 n 1 k n = k n+1 −k k n+2 − k n+i n=1 n 1 k n = k( k n−1 ) k( k n+1 − k n ) Finalmente: n=1 n 1 k n = k n −1 k n (k−1)

Sumatorias de los enésimos números naturales Sea 𝑎 𝑛 = 1,2,3,4,5,6,…….𝑛−1 , 𝑛 O bien: 1+2+3+4+5 ……….+𝑛−1+𝑛= 𝑛=1 𝑛 𝑛 𝑛+1 + 2+𝑛−1 + 3+𝑛−2 +……………..= 𝑛=1 𝑛 𝑛 𝑛+1 + 𝑛+1 + 𝑛+1 +……………..= 𝑛=1 𝑛 𝑛 Sumando que se repite 𝑛 2 veces , Por lo tanto, n=1 n n= n 2 (n+1)

Suma de los enésimos números naturales impares (Otra más) 𝑛=1 𝑛 2𝑛−1 = 𝑛=1 𝑛 2𝑛− 𝑛=1 𝑛 1 𝑛=1 𝑛 2𝑛−1 =2 𝑛=1 𝑛 𝑛− 𝑛=1 𝑛 1 𝑛=1 𝑛 2𝑛−1 =2 𝑛 2 𝑛+1 −𝑛 𝑛=1 𝑛 2𝑛−1 =𝑛 𝑛+1 −𝑛 𝑛=1 𝑛 2𝑛−1 = 𝑛 2 +𝑛−𝑛 𝑛=1 𝑛 2𝑛−1 = 𝑛 2

Sumatoria de los cuadrados de los enésimos, números naturales Esto es n=1 n n 2 Consideremos: 𝑛=1 𝑛 𝑛 3 𝑛=1 𝑛 (𝑛+1) 3 = 2 3 + 3 3 + 4 3 +……… (𝑛+1) 3   𝑛=1 𝑛 𝑛 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 +……… 𝑛 3 𝑛=1 𝑛 (𝑛+1) 3 − 𝑛=1 𝑛 𝑛 3 = 2 3 + 3 3 + 4 3 +……… 𝑛+1 3 − 1 3 + 2 3 + 3 3 +……… 𝑛 3 𝑛=1 𝑛 (𝑛+1) 3 − 𝑛=1 𝑛 𝑛 3 =− 1 3 +(𝑛+1) 3 𝑛=1 𝑛 (𝑛+1) 3 − 𝑛=1 𝑛 𝑛 3 = (𝑛+1) 3 − 1 3

𝑛=1 𝑛 𝑛 3 +3 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 +3 𝑛=1 𝑛 𝑛+ 𝑛=1 𝑛 1 − 𝑛=1 𝑛 𝑛 3 = 𝑛 3 +3 𝑛 2 +3𝑛+1−1 3 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 +3 𝑛=1 𝑛 𝑛+𝑛 = 𝑛 3 +3 𝑛 2 +3𝑛   3 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 +3 𝑛=1 𝑛 𝑛 = 𝑛 3 +3 𝑛 2 +2𝑛 3 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 =− 3 𝑛=1 𝑛 𝑛 + 𝑛 3 +3 𝑛 2 +2𝑛 3 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 =− 3∗ 𝑛 2 (𝑛+1) + 𝑛 3 +3 𝑛 2 +2𝑛

3 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 = − 1 2 (3𝑛(𝑛+1) + 2𝑛 3 +6 𝑛 2 +6𝑛) 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 = 1 6 (−3 𝑛 2 −3𝑛 + 2𝑛 3 +6 𝑛 2 +6𝑛) 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 = 1 6 (2 𝑛 3 +3 𝑛 2 +3𝑛) 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 = 1 6 𝑛(2 𝑛 3 +3𝑛+3) 𝑛=1 𝑛 𝑛 2 = 1 6 𝑛(2𝑛+1)(𝑛+1)

Demostración de las sumas enésimas de los números naturales a la tercera y cuarta potencia Demostración de la suma enésima de los cubos (𝑛+1) 4 − 𝑛 4 =4 𝑛 3 +6 𝑛 2 +4𝑛+1 Siendo n igual al conjunto de los números enteros positivos 𝑛=1 2 4 − 1 4 =4 1 3 +6 1 2 +4(1)+1 𝑛=2 3 4 − 2 4 =4 2 3 +6 2 2 +4(2)+1 𝑛=3 4 4 − 3 4 =4 3 3 +6 3 2 +4(3)+1 𝑛=𝑛−1 𝑛 4 − 𝑛−1 4 =4 𝑛−1 3 +6 𝑛−1 2 +4(𝑛−1)+1 𝑛=𝑛 (𝑛+1) 4 − 𝑛 4 =4 𝑛 3 +6 𝑛 2 +4𝑛+1  

Sumando todos los términos se obtiene (𝑛+1) 4 −1=4 𝑘=1 𝑛 𝑘 3 +6 𝑘=1 𝑛 𝑘 2 +4 𝑘=1 𝑛 𝑘 +𝑛 (𝑛+1) 4 −1=4 𝑘=1 𝑛 𝑘 3 +6 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 +4 𝑛(𝑛+1) 2 +𝑛 𝑛 4 +4 𝑛 3 +6 𝑛 2 +4𝑛+1−1−𝑛 𝑛+1 2𝑛+1 −2𝑛 𝑛+1 −𝑛=4 𝑘=1 𝑛 𝑘 3 𝑛 4 +4 𝑛 3 +6 𝑛 2 +4𝑛+1−2 𝑛 3 −3 𝑛 2 −𝑛−2 𝑛 2 −2𝑛−𝑛=4 𝑘=1 𝑛 𝑘 3 𝑛 4 +2 𝑛 3 + 𝑛 2 =4 𝑘=1 𝑛 𝑘 3 𝑛 2 (𝑛 2 +2𝑛+1)=4 𝑘=1 𝑛 𝑘 3

𝑛 2 (𝑛+1) 2 4 = 𝑘=1 𝑛 𝑘 3 𝑛(𝑛+1) 2 2 = 𝑘=1 𝑛 𝑘 3 Q.E.D que la fórmula para la suma enésima de los cubos de los naturales es:  

Se demuestra también que: 1 30 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)(3 𝑛 2 +3𝑛−1)= 𝑘=1 𝑛 𝑘 4

Ejercicios de aplicación. Calcula las siguientes sumatorias:   𝑛=1 7 𝑛(𝑛+1) 2 d) 𝑛=1 10 𝑛−1 𝑛+1 𝑛=1 8 (3𝑛−2) e) 𝑛=1 4 (−1) 𝑛 2 𝑛 +1 𝑛=1 6 𝑛 (𝑛+1) 2 f) 𝑛=1 8 (−1) 𝑛 (𝑛 2 +1) 4𝑛

Expresa como una sumatoria:   a) 1 2 + 2 3 + 3 4 ………. + 5 51 b)1*1+2*3+3*5+……….+10*19 c) 2+5+8+11+……….+44 d)1+4+7+……….+43 3) Aplica las propiedades y calcula: a) 𝑛=4 25 4 22 c) 𝑛=11 20 (𝑛 2 +2)(𝑛−2) b) 𝑛=! 10 7(𝑛 3 +1) 5 d) 𝑛=1 13 (7+𝑛) 3

4) Calcule usando formulas desarrolladas   4) Calcule usando formulas desarrolladas 𝑛=1 40 𝑛 d) 𝑛=1 80 (2𝑛) 2 𝑛=1 30 (2𝑛−1) e) 𝑛=1 70 (𝑛 2 +𝑛) 𝑛=1 63 𝑛 2 f) 𝑛=1 15 (5−2𝑛) 2

5) Usa fórmulas conocidas y encuentra la correspondiente para Cada proposición:   𝑛=1 𝑛 2𝑛 𝑛=1 𝑛 (𝑛+1) 2 𝑛=1 𝑛 (3𝑛−2) 𝑛=1 𝑛 (2𝑛−1) 2 𝑛=1 𝑛 (2𝑛+4) h) 𝑛=1 𝑛 ( 5𝑛 2 3 − 4 9 ) 𝑛=1 𝑛 (𝑛 2 −1) 𝑛=1 𝑛 (6𝑛 2 +4𝑛)

Respuestas:  1) a) 84 d) 82609 13810 b) 92 e) −142 765 c) 190699 176400 f) 2827 3360 2) a) 𝑛=1 50 𝑛 𝑛+1 c) 𝑛=1 15 (3𝑛−1)   b) 𝑛=1 10 𝑛(2𝑛−1) d) 𝑛=1 15 (3𝑛−2)

3) a) n=4 25 4 22 =4 c) 𝑛=11 20 (𝑛 2 +2) 𝑛−2 =36375 𝑛=11 20 (𝑛 2 +2) 𝑛−2 =36375 b) 𝑛=1 10 7 (𝑛 3 +1) 5 =4249 d) 𝑛=1 13 (7+𝑛) 3 =43316 4) a) 820 d) 695520   b) 900 e) 119280 c) 85344 f) 2935

a) n(n+1) e) n(n+1)(2n+3) b) 𝑛(3𝑛−1) 2 f) 𝑛(2𝑛 2 +9𝑛+13) 6 5) a) n(n+1) e) n(n+1)(2n+3)   b) 𝑛(3𝑛−1) 2 f) 𝑛(2𝑛 2 +9𝑛+13) 6 c) n(n+5) g) 𝑛 2𝑛+1 (2𝑛−1) 3 d) 𝑛 𝑛−1 (2𝑛+5) 6 h) 𝑛(10𝑛 2 +15𝑛−3) 18