Sucesiones-Progresiones Sucesiones.- Sucesiones aritméticas.- Sucesiones geométricas.-Sucesiones geométricas infinitas.- Inducción matemática.- Teorema.

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1 Sucesiones-Progresiones Sucesiones.- Sucesiones aritméticas.- Sucesiones geométricas.-Sucesiones geométricas infinitas.- Inducción matemática.- Teorema del binomio

2 Conceptos Básicos. Sucesión.- Es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos. Al tratar con sucesiones, usamos letras con subíndices para representar a los términos. Ej: a 1, a 2, a n, primero, segundo y término enésimo. Una segunda forma de definir una sucesión es asignando un valor al primer término(o primeros términos), y especificando el n-ésimo término por una fórmula o ecuación que involucre uno o más de los términos que le preceden.

3 Ejemplos de Sucesiones Escribir los primeros seis términos de la siguiente sucesión. {a n } = n – 1 n a 1 = 0 a 2 = 1/2 a 3 = 2/3 a 4 = 3/4 a 5 = 4/5 a 6 = 5/6 Escribir los primeros cinco términos de la siguiente sucesión. u 1 = 1, u 2 = 1, u n+2 = u n + u n+1 u 1 = 1; u 2 = 1; u 3 = u 1 + u 2 =2 u 4 = u 2 + u 3 = 1 + 2 = 3 u 5 = u 3 + u 4 = 2 + 3 = 5 Esta sucesión se llama Sucesión de Fibonacci, y los términos de esta sucesión son llamados números de Fibonacci.

4 Notación de Sumatoria Con frecuencia es importante poder determinar la suma de los primeros n términos de una sucesión {a n }, es decir, a 1 + a 2 + a 3 +………..a n Sin embargo, en lugar de escribir todos los términos, introducimos una forma más concisa de expresar esta suma, llamada notación de sumatoria. Usando ésta notación: a 1 + a 2 + a 3 +…+a n =  n k =1 a k

5 Ejemplos en notación de sumatoria Expresar cada suma usando la notación de sumatoria. a) 1 2 + 2 2 + 3 2 +………+ n 2 b) 1 + 1/2 +1/4 +1/8 + ……+ 1/(2 n - 1 ) En el primer literal la suma tiene n términos, cada uno de la forma k 2, inicia en k = 1 y termina en k = n. De este modo, 1 2 + 2 2 + 3 2 +………+ n 2 =  n k=1 k 2 En el segundo literal la sucesión tiene n términos, cada uno de la forma 1/(2 k – 1 ), inicia en k = 1 y termina en k = n. Por lo tanto. 1 + 1/2 +1/4 +1/8 + ……+ 1/(2 n - 1 ) =  n k=1 1/(2 k – 1 ). El índice de la sumatoria no siempre necesita empezar en 1 ni terminar en n.

6 Para Reflexionar Una colonia de conejos empieza con una pareja de conejos maduros, la cual procreará una pareja de descendientes (un macho y una hembra) cada mes. Suponga que todos los conejos maduran en un mes y procrean una pareja de descendientes (un macho y una hembra) después de 2 meses. Si ningún conejo muere. Cuántas parejas de conejos maduros habrá dentro de 7 meses? Rp: 21

7 Sucesión Aritmética Cuando la diferencia entre términos consecutivos de una sucesión siempre es el mismo número, la sucesión es llamada aritmética. Por lo tanto: a n = a + ( n – 1)r Nomenclatura: a n = término enésimo o último término a = primer término de la progresión. n = número de términos. r = razón o diferencia.

8 Observaciones De acuerdo a la ecuación a n = a + ( n – 1)r; se deduce: a 3 = a + 2r ; a 6 = a + 5r y así sucesivamente. Para hallar un medio aritmético (interpolar) se necesita el valor de la razón. Para determinar la suma de términos de una progresión aritmética, podemos utilizar: S n = (a n + a ) n o S n = [2a + (n – 1 )r]n 2 2 Dada la siguiente sucesión: 1.3.5.7.9.11.13. Observamos que: la suma del primero y el séptimo, al igual que la suma del segundo y el sexto término, al igual que la suma del tercero y el quinto término es 14, siendo el término central la mitad de éste valor.

9 Problemas de Progresión Aritmética Un piso de mosaico de cerámica está disenado en forma de trapecio regular, con 20 pies de ancho en la base y 10 pies de ancho en la parte superior. Los mosaicos de 12 por 12 pulgadas, serán colocados de modo que cada fila sucesiva tenga un mosaico menos que la anterior. Cuántos mosaicos se necesitarán? Rp: 165. Una pelota rueda por un plano inclinado, partiendo del reposo, de forma que en el primer segundo recorre 3 cm, en el segundo 5 cm, en el tercero 7 cm, etc. Hallar el tiempo que tardará en recorrer 120 cm. Rp:10seg. El primer término de una progresión aritmética es 4 y el último 34. Sabiendo que la suma de sus términos es 247, hallar el número de términos y la razón. Rp: 13 y 5/2

10 Progresión Geométrica Cuando el cociente entre los términos consecutivos es el mismo número, se llama progresión geométrica. a n = ar (n – 1) Nomenclatura: a n = término enésimo o último término a = primer término de la progresión. n = número de términos. r = razón o cociente.

11 Observaciones Generales. De acuerdo a la ecuación: a n = ar (n – 1),se puede establecer: a 7 = ar 6 ; a 10 = ar 9 y así sucesivamente. Para determinar medios geométricos se debe conocer el valor de la razón. Se calcula la suma de términos en una progresión geométrica con las ecuaciones: S n = a n r – a o S n = a( r n - 1) r - 1 r – 1 En la siguiente progresión: 3.9.27.81.243. Si se multiplican el primero con el quinto término así como el segundo con el cuarto término el valor es 729 y el término central es la raíz cuadrada de dicho producto.

12 Ejercicios de Sucesiones Geométricas Joseph vende 120 teléfonos en 4 días. Si cada día vendió 1/3 de lo que vendió el día anterior, entonces cuánto vendió el primer día. a n = ar (n – 1), S n = a( r n - 1) r – 1 120 = a[(1/3) 4 – 1] ; 120 = a(1/81 –1) (1/3) – 1 - 2/3 120(-2/3) = a(-80/81); 120 = a(40/27); a = 81 Rp:81 teléfonos

13 Otras Progresiones Progresiones geométricas infintas.- La suma S  de los términos de una progresión geométrica infinita de razón r, en valor absoluto menor que la unidad viene dada por: S  = a, siendo | r | < 1 1 - r Progresiones armónicas.- Es una sucesión de números cuyos recrípocos forman una progresión aritmética.Ejemplo: 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10….. Es una progresión armónica, ya que 2,4,6,8,10,…. Es una progresión aritmética

14 Problemas de progresiones geométricas El primer término de una progresión geométrica es 3 y el último 48. Sabiendo que cada término es el doble del anterior, hallar el número de términos y la suma de todos ellos. Rp 5 y 93. En una progresión geométrica el segundo término excede al primero en 4 unidades y la suma del segundo y el tercero es 24. Demostrar que es posible encontrar dos p.g, que satisfagan estas condiciones y hallar la suma de los cinco primeros términos de cada una de ellas. Rp: 2,6,18,….S = 242; 4,8,16,…..S = 124 Se supone que el teorema, o fórmula, es cierto para n = k, y a continuación, se demuestra que también se verifica para el siguiente n = k + 1.

15 Inducción Matemática El principio matemático de inducción completa es un procedimiento que sirve para demostrar un teorema general, o una fórmula, a partir de casos particulares. Para hacer una demostración por éste método se procede de la forma siguiente: Se comprueba por simple sustitución, que el teorema propuesto, o fórmula, se verifica para los primeros valores de n, enteros y positivos.

16 Demostraciones por Inducción 1 + 2 + 3 + ……+ n = n( n + 1 ) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 + ……+ n 2 = n( n +1)(2n + 1) 6 1.3 + 2.3 2 + 3.3 3 +..+ n. 3 n = (2n –1)3 n+1 + 3 4 1 + 1 + 1 +…. + 1 = n 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n + 1

17 Complete el Módulo Concéntrico Progresiones

18 Teorema del Binomio El patrón triangular de Pascal, también aparece cuando se elevan expresiones “binomiales”a diferentes potencias. (x +y) 0 = 1 (x +y) 1 = x + y (x +y) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 (x +y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 Los coeficientes corresponden al triángulo de Pascal, pero pueden verificarse por medio de cálculos directos y por las propiedades distributivas, asociativas y conmutativas del álgebra.

19 El símbolo n i Esta expresión se lee n tomados de i en i. Si i y n son enteros con 0  i  n, el símbolo anterior se define como: n! i! (n – i)! En una calculadora el símbolo n puede estar denotado por i la tecla nCr o por la tecla Comb. Por definición el: 0! y 1! es uno

20 Ecuación del Teorema del Binomio Para encontrar un término en particular, podemos emplear la siguiente ecuación: n x n - i y i i i = términos que preceden Ejemplo: Encontrar el coeficiente de y 8 en el desarrollo de (2y + 3 )10. Primero determinamos el lugar que corresponde al exponente 8 y luego encontramos su coeficiente. 10 (2) 8 (3) 2 = 10!.2 8.9 = 10.9.8!.2 8.9 = 103680 2 2!8! 2.8!

21 Ejercicios. Evalúe las siguientes expresiones: 5 7 7 9 50 37 3 3 5 5 48 19 Desarolle cada expresión usando el teorema. *(x – 2) 6 * (x + 3) 4 *( 3x + 2y) 7 *( x - 3) 8 Utilice el teorema del binomio para encontrar el coeficiente o el término indicado. El coeficiente de x 6 en el desarrollo de (x +3) 10 El sexto término en ( 3x + 2) 8 El coeficiente de x 3 en el desarrollo de (2x + 3) 9 El tercer término en (5x – 3y) 12