MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1º BTO A 09/12/2018 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1º BTO A Colegio Ntra. Sra. del Buen Consejo (Agustinas) 09/12/2018 Juan Antonio Romano Largo

Juan Antonio Romano Largo TEMAS 6: Funciones. Concepto de función. Dominio y recorrido. Composición de funciones. Función inversa. Propiedades globales de las funciones: Continuidad. Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos. Tendencia. Funciones definidas a trozos. Traslación y dilatación de funciones. 09/12/2018 Juan Antonio Romano Largo

Definición de función. f(x) = x2 R R 2 4 2,3 5,29 5 25 Una función real de variable real es una aplicación de un conjunto D  R, en el conjunto R, que a cada elemento del dominio le hace corresponder una imagen. f(x) = x2 R R 4 5,29 25 Recorrido Dominio 2 2,3 5 f(2) = 4 f(2,3) = 5,29 f(5) = 25 Para que sea aplicación ha de cumplir dos condiciones: Todo elemento de D ha de tener imagen. Esta imagen ha de ser única.

Juan Antonio Romano Largo Dominio y recorrido. El dominio de una función es el conjunto de los números reales “x” para los que la función está definida. Al conjunto de números reales “y” formado por los valores que toma la función se le llama imagen o recorrido. Cálculo del domimio: Función racional  Función irracional de índice par (si es impar el dominio es todo R) Función logarítmica  09/12/2018 Juan Antonio Romano Largo

Composición de funciones. Dadas dos funciones f(x) y g(x) se define la función “g compuesta con f” y se representa por (fog)(x) a la función f(g(x)), es decir, el resultado de sustituir en la expresión de f(x) la variable independiente x por la función g(x). De la misma forma se define la función “f compuesta con g” y se representa por (gof)(x) a la función g(f(x)), es decir, el resultado de sustituir en la expresión de g(x) la variable independiente x por la función f(x). NOTA: La composición de funciones no cumple la propiedad conmuativa, es decir, que en general: 09/12/2018 Juan Antonio Romano Largo

Composición de funciones. Ejemplo: La función h(x) = sen (2x + 1) es la composición de dos funciones: g(x) = 2x + 1 f(x) = sen x R g R f x 2x sen 2x h(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = sen (2x + 1) Entrada x g(x) = 2x Salida 2x h(x) = (fog)(x) = f(g(x)) Salida sen (2x + 1) f(x) = sen x Entrada 2x 09/12/2018 Juan Antonio Romano Largo

Juan Antonio Romano Largo Función inversa. Dada una función f(x) se llama función inversa f-1(x) a la función que verifica que: Para hallar la función inversa: 1.- Cambiamos la “x” por la “y” y la “y” por la “x” 2.- Despejamos la “y” y el resultado es f-1(x) No todas las funciones tienen inversa. Es necesario que la función no tenga ni máximos ni mínimos. Una función y su inversa son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante y cumplen la propiedad siguiente: 09/12/2018 Juan Antonio Romano Largo

Propiedades globales de las funciones. Continuidad: Una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel, es decir, si su gráfica no presenta saltos. En caso contrario diremos que es discontinua. Crecimiento y decrecimiento: una función es creciente cuando se cumple que: Y decreciente si se verifica que: Máximos y mínimos relativos: Una función tiene un máximo relativo si pasa de crecer a decrecer y tiene un mínimo relativo cuando pasa de decrecer a crecer. Tendencia: Es el valor al que se aproxima la función cuando la variable independiente “x” se acerca a determinado valor. 09/12/2018 Juan Antonio Romano Largo

Funciones definidas a trozos. Una función definida a trozos es aquella que tiene una expresión diferente para distintos intervalos del eje X. Traslación y dilatación de funciones. Dada la gráfica de una función f(x): f(x) + a  sube “a” unidades en el eje Y f(x) - a  baja “a” unidades en el eje Y f(x + a)  desplaza “a” unidades a la izquierda f(x - a)  desplaza “a” unidades a la derecha a·f(x)  dilata “a” veces en el eje Y f(x)/a  comprime “a” veces en el eje Y f(a·x)  comprime “a” veces en el eje X f(x/a)  dilata “a” veces en el eje X 09/12/2018 Juan Antonio Romano Largo