Unidad 6 Anexo 1. Capítulo VI. Ecuación de Bessel de orden n.

Determine la solución general de la ecuación de Bessel de orden n: U-6.A-1. Cap. VI. Ecuación de Bessel de orden n. Determine la solución general de la ecuación de Bessel de orden n: alrededor del punto x0 = 0, para x > 0, usando el método de Frobenius. Solución: Las raíces de la ecuación indicial son r1,2 =  n y difieren en un entero. De acuerdo con el teorema, se tienen dos soluciones linealmente independientes: la 2ª puede tener un término logarítmico y la 1ª es de la forma: y derivando dos veces y sustituyendo en la ecuación:

U-6.A-1. Cap. VI. Ecuación de Bessel de orden n. Ahora se corre en 2 el índice de la 3ª suma, reemplazando k por k − 2, lo que hace que la 3ª suma inicie con k = 2. Se desarrollan las otras sumas para k = 0 y k = 1 y se combinan para obtener: o

De esta manera la relación de recurrencia es: U-6.A-1. Cap. VI. Ecuación de Bessel de orden n. Ecuación que se satisface para toda x si y sólo cada uno de los coeficientes es cero. Por tanto: De esta manera la relación de recurrencia es: y expresa un coeficiente en términos del 2° anterior, por lo que los coeficientes de índice par se expresan en términos de a0 y los coeficientes de índice impar en términos de a1, por lo que a1 = a3 = a5 =  = 0. Los coeficientes de índice par pueden expresarse como:

U-6.A-1. Cap. VI. Ecuación de Bessel de orden n. y generalizando:

U-6.A-1. Cap. VI. Ecuación de Bessel de orden n. ya que n es un entero positivo. Sustituyendo, la primera solución resulta: La constante a0 puede adoptar cualquier valor adecuado (excepto cero) y es frecuente que a0 = 1/(n!2n). Al sustituir se obtiene: la función de Bessel de primera clase de orden n y se toma como la primera solución de la ecuación de Bessel de orden entero positivo n.

Cuando n = 0, la función Jn(x) se reduce a J0(x). U-6.A-1. Cap. VI. Ecuación de Bessel de orden n. Cuando n = 0, la función Jn(x) se reduce a J0(x). análogamente a la determinación de Y0(x), la 2ª solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel de orden n es: llamada función de Bessel de 2ª clase de orden n. La solución general de la ecuación de Bessel de orden n para n > 0 puede expresarse como:

U-6.A-1. Cap. VI. Ecuación de Bessel de orden n. donde las constantes C1 y C2 se determinan a partir de las condiciones iniciales o de frontera. En las gráficas se muestran algunas funciones de Bessel de orden n, en ellas se observa que las funciones Jn(x) y Yn(x) se comportan análogamente a J0(x) y Y0(x). Estas funciones oscilan con amplitud decreciente con x y tienen un número infinito de ceros; pero, a diferencia de Jn(x), las funciones Yn(x)   cuando x  0. Por tanto, si la solución debe ser finita en x = 0 (en la mayoría de los casos) se elegir C2 = 0 para descartar Yn(x) de la solución.

U-6.A-1. Cap. VI. Ecuación de Bessel de orden n.

U-6.A-1. Cap. VI. Ecuación de Bessel de orden n.