MAT022 – II semestre 2013 Áreas Octubre 2012 V.B.V.

Ya estudiamos la integral de Riemann f(x) a b

Área Sea f una función no negativa y acotada en [a,b] Buscamos calcular el área en la región: R= {(x,y) 2: x[a,b] y [0,f(x)]} Se denota: Aab(f)

Proposición. f riemann integrable  el área Aab(f) corresponde a la integral de riemann.

Área entre dos funciones f(x) a b g(x)

Área entre dos funciones Sean f y g funciones. Se tiene: x[a,b]: 0f(x) g(x) : Aab(f)  Aab(g) c[a,b]: Aab(f) = Aac(f) + Acb(f)

Proposición. El área encerrada por dos funciones f y g entre a y b, está dada por:

Luego de obtener esto, calcular el área. ESTRATEGIA Hacer la grafica Calcular intersección(es) de las curvas Estudiar los “rectángulos” Determinar |f(x)-g(x)| Luego de obtener esto, calcular el área.

Ejemplo 1: Área entre dos curvas Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = x2+2 ; y = -x ; x = 0 ; x = 1 OBS: f y g no se cortan a y b se dan explicitamente

Ejemplo 2: Área entre dos curvas que se cortan, con a y b desconocidos Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = 2 –x2 ; y = x

Ejemplo 3: Área entre dos curvas que se cruzan Calcular el área de la región acotada por las graficas de f(x) = x2 ; g(x) = 2- x2 ; 0  x2

Ejemplo 4: Área de una región determinada por 3 curvas Ejemplo 4: Área de una región determinada por 3 curvas. Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = x2 ; y= 2- x ; y=0

Observación: Imaginar que rotamos los ejes… O bien pensar en intercambiar “x” por “y”. Podemos calcular el área en términos de “dy”.

Ejemplo 5: Calcular el área como una integral en y Ejemplo 5: Calcular el área como una integral en y. Resolver el ejercicio anterior en dy. IMPORTANTE: Escribir x=f-1(y) ; x=g-1(y) Determinar intersección en y. Signo de f-1(y) - g-1(y) en el intervalo [c,d]

Ejercicio Propuesto: x=3-y2 ; x=y+1. 1. Encontrar el área de las regiones encerradas por: x=3-y2 ; x=y+1. Utilizar dx y dy ¿en que caso resulta mas simple? 2. Calcular el área acotada por las graficas de x= y2 ; x=2-y2

Ejemplo 6: Los puntos de intersección no se conocen “exactamente” Ejemplo 6: Los puntos de intersección no se conocen “exactamente”. Calcular el área acotada por y= cos x e y = x2

Ejemplo 7: Área de una curva cerrada (loops) Ejemplo 7: Área de una curva cerrada (loops). Calcular el área acotada por y2= x2- x4

Ejercicios Propuestos: Encontrar el área de las regiones encerradas por: y=3-x ; y=x2-9 y=10x-x2 ; y = 3x-8 y = sen x ; y = cos x entre las rectas x=0 y x=  8y = x3 ; 8y = 2x3 +x2 -2x xy = 9 ; x + y = 4 y = 3x - x2 , y = 3 x2 - x3 entre las rectas x = 0 , x = 3 x = 1-y4; x = y(1 - y2).

Calcula el área de las dos partes en que la parábola: y2 = 4x divide al círculo x2 + y2 = 8. Calcula el área de una elipse de semiejes a y b. Expresar en términos de una integral el área de la región más grande limitada por x2 + y2 = 25 y la recta x = −3.