Cinemàtica II: ESTUDI DELS MOVIMENTS

1- CONCEPTE DE MOVIMENT 2- MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU) 3-MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA) 3.1- Moviment vertical dels cossos 4-COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS 4.1- Composició de dos MRU perpendiculars 4.2- Moviment parabòlic 5-MOVIMENT CIRCULAR 5.1--Moviment circular uniforme (MCU) 5.2--Moviment circular uniformement accelerat (MCUA)

1-CONCEPTE DE MOVIMENT Sistema de referència: un punt o un conjunt de punts respecte dels quals descrivim el moviment d’un cos, que considerem fixes en l’espai. Un objecte està en moviment respecte un sistema de referència determinat quan la seva posició respecte d’aquest sistema varia amb el temps; en cas contrari, diem que està en repòs. El moviment és relatiu, ja que l’estat de moviment o de repòs d’un cos depèn del sistema de referència adoptat. No existeix el moviment absolut.

2- MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU) La trajectòria és recta i la velocitat és constant (en mòdul i direcció) ∆x= desplaçament, x0= posició inicial Quan to=0 x= x0 + v (t - t0) x= x0 + v t x= v · t

Representació gràfica del MRU a partir de l’equació Un mòbil surt d’ un punt situat a una distància de dos metres respecte l’ origen de coordenades i porta una velocitat constant de 5 m/s. x = x0 + v ⋅ t → x = 2 + 5t La gràfica x-t és una línia recta que talla a l’eix d’ ordenades en la posició inicial (x0). La gràfica v-t és una línia horitzontal, paral·lela a l’eix de abscisses, que talla a l’eix d’ordenades en el valor de la velocitat del mòbil.

Equació d’un MRU a partir de la gràfica Valor de la posició inicial x0 = 92,5 m Per trobar la velocitat, ens fixem en els valors de temps i posició (t, x) de dos punts de la línia i apliquem l’expressió de la velocitat: x2 – x1 t2 – t1 10 – 2 30 – 80 = – 6,25 m/s = v = L’equació del MRU corresponent a la gràfica és: Pendent de la recta. Inclinació x = x0 + v t → x = 92,5 − 6,25 ⋅ t

Moviment de 2 mòbils x= x0 + v (t - t0) Sabadell 20 km Barcelona 1. Elegim un origen del sistema de referència. Joan Pere 2. Elegim un origen de temps x0 = 0 m x0 = 20 000 m v = 10 m/s v = -8 m/s to = 0 to= 600 s 3. Plantegem les equacions de moviment de cada corredor Surt a les onze en punt Surt a les onze i deu x= x0 + v (t - t0) x = 10 t x = 20 000 – 8 (t-600) 10 t = 20 000 – 8 (t-600) 10 t + 8 t = 20 000 + 4800 18 t = 24 800 t = 24 800/18 = 1377,8 s 4. La posició a la que es troben és 1377,8 s = 23 min x = 10 t = 10 · 1377,8 = 13 778 m = 13,8 km de Sabadell A les 11 h 23 min

3-MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA) El moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) és un moviment on la trajectòria és una línea recta i l’ acceleració és constant. La trajectòria és recta i l’acceleració és constant (en mòdul i direcció) Equació de posició Equació de velocitat x = x0 + v0 (t - t0) + a (t - t0)2 v = v0 + a (t - t0) Acceleració tangencial v = v0 + a t Quan to=0 x = x0 + v0 t + a t 2 Quan to=0 v2 = v0 2+ 2a (x - x0)

Un mòbil es mou en línia recta des d’ Representació gràfica del MRUA Un mòbil es mou en línia recta des d’ un punt situat a 2 metres de l’origen amb una velocitat inicial de 3 m/s i una acceleració constant de 2 m/s2. x = x0 + v0 t + 1/2 at2 x = 2 + 3 t + t2 La gràfica v-t serà: v = v0 + at v = 3 + 2 t

Representació gràfica del MRUA

3.1-Moviment vertical dels cossos MRUA Quan baixa, la seva velocitat és cada cop més negativa, es a dir, el seu mòdul augmenta, però el seu signe és negatiu, ja que el mòbil va cap avall. Quan llancem un cos cap amunt, la seva velocitat disminueix en mòdul fins que es fa zero. v0 > 0 vf = 0 Equacions del moviment de caiguda lliure: v0 < 0 y = y0 + v0 (t - t0) - 9’8 (t - t0)2 En ambdós casos, l’acceleració “g” és de -9,8 m/s2. y = y0 + v0 t - 9’8 t 2 Quan to=0 v= vo- 9’8 (t – t0) v= vo- 9’8 t v2 = v0 2 - 2· 9’8 (y - y0) Quan to=0

3.1-Moviment vertical dels cossos

4- COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS Moviments en dues dimensions. Són moviments compostos i són la combinació de 2 o més moviments simples. Cal distingir els moviments simples components, i veure de quin tipus són (MRU o MRUA). Aplicar a cada moviment les seves equacions. Obtenir les equacions del moviment compost Cal treballar amb vectors : Un vector és un segment orientat que consta dels següents elements:  Mòdul és la longitud del vector, es a dir, del segment AB. Es denota per o v. Es denomina vector unitari al que té mòdul 1.  Direcció és la de la recta r que conté el vector. Indica la seva inclinació.  Sentit, indicat per la fletxa. (des d’A fins a B)  Punt d’aplicació, punt on comença el vector

4.1- Composició de dos MRU perpendiculars Una barca que pretén creuar un riu perpendicularment a la riba. El moviment real de la barca està compost per: MRU perpendicular a la riba, a causa de l’esforç del remer MRU paral.lel a la riba, degut al corrent del riu Vector velocitat Vector posició x= vx t y= vy t Trajectòria

4.2- Moviment parabòlic: composició de dos moviments, un MRU u l’altre MRUA. Una pilota de futbol llançada cap a la porteria. La trajectòria és parabòlica. El moviment està compost per dos moviments simples: Eix Horitzontal: MRU de velocitat vx constant Eix Vertical: MRUA amb velocitat inicial v0y cap amunt Inicialment a V0Y V0X V0 VoX = V0. cos  V0Y = V0. sin  Equació de la velocitat vx=vox= constant vy= voy- g (t – t0)

moviment parabòlic (cont.) Equació de la posició x= xo+ v0x (t – t0) MRU y = y0 + v0y (t - t0) - g (t - t0)2 MRUA Temps de moviment: Temps total que el mòbil està en moviment. Quan el mòbil arriba a terra. y=0 X V0 Y abast r y0 V alçada màxima V0x V0y Abast: Distància horitzontal que recorre el mòbil. y=0 Substituïm el temps de moviment en l’equació de x Alçada màxima: vy=0 Trobem t i el substituïm en l’equació de y

moviment parabòlic (cont.) Descomposició del vector velocitat en el tir parabòlic

5- MOVIMENT CIRCULAR Un moviment és circular quan la trajectòria d’un mòbil és una circumferència. s =arc A’ B’ C’ s  φ φ = angle  A B C r = radi Quan l’angle recorregut es mesura en radiants, la relació entre l’angle (ϕ) i l’espai lineal (s) que descriu el mòbil és: arc = angle ⋅ radi Quan el disc gira un angle  (es llegeix «fi»), els tres punts A, B i C es desplacen fins les posicions A', B' i C'. s = ϕ ⋅ r

5-Velocitat angular Velocitat angular mitjana, m: quocient entre l’angle girat, ∆, i el temps recorregut. (rad/s) Velocitat angular instantània, : velocitat angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. (rad/s) Quan ∆t0

5-Relació entre velocitat angular i velocitat lineal ∆s= longitud d’arc ∆= angle (en radiants) Quan la roda d’una bicicleta gira amb MCU, tots els punts del radi tenen la mateixa velocitat angular, ja que recorren angles igual en el mateix temps. Però com més allunyat del centre és el punt, més gran la distància que recorre, i en conseqüència, major la seva velocitat lineal.

5-Acceleració angular Acceleració angular mitjana, m: quocient entre la variació de la velocitat angular , ∆, i el temps recorregut. (rad/s2) Acceleració angular instantània, : acceleració angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. (rad/s2) Després demostrarem que: Quan ∆t0

5.1-Moviment circular uniforme (MCU) Moviment en què un mòbil descriu una trajectòria circular amb velocitat angular , , constant. El mòdul de la velocitat lineal, és constant, però la seva direcció varia en cada instant. No hi ha acceleració tangencial, però si normal. Constant Equació del moviment:

5.1-Moviment circular uniformement accelerat (MCUA) El mòbil descriu una trajectòria circular amb acceleració angular , , constant. La direcció i el mòdul de la velocitat lineal varien en cada instant. Hi ha acceleració tangencial i normal. quan ∆t0 Constant Variable Equació de la velocitat angular Equació del moviment  = 0 +0 (t - t0) +  (t - t0)2 2 = 0 2+ 2 ( - 0)

6-Classificació dels moviments segons l’acceleració Moviment rectilini uniforme (MRU) at = 0 Moviments rectilinis an= 0 Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) at 0 Moviment circular uniforme (MCU) at = 0 Moviments circulars an 0 i R = cte Moviment circular uniformement accelerat (MCUA) at = cte magnitud lineal= magnitud angular · radi ∆S(espai en metres)= ∆( angle en rad ) ·R V(velocitat)= w(velocitat angular )·R at (acceleració tangencial) = a (acceleració angular)·R

6-Classificació dels moviments segons l’acceleració

x= x0 + v t  = 0 + 0 t +  (t)2 x = x0 + v0 t + a (t)2 MRU MCU v = v0 + a t x = x0 + v0 t + a (t)2 v2 - v0 2 = 2a x MRUA  = 0 + 0 t +  (t)2 2 - 0 2 = 2 ( - 0) MCUA vx=vox= constant vy= voy- 9’8 t Parabòlic vox = vo. cos  voy = vo. sin  x= xo+ vox t MRU y = y0 + v0y t - 4’9 (t)2 MRUA