Semiario de Sistemas Dinámicos 2001 Movimiento Browniano Semiario de Sistemas Dinámicos 2001 G. Hernandez german@ing.unal.edu.co

Introducción Teorema de Kolmogorov y procesos estocásticos canónicos Movimiento Browniano “Riudo blanco” Referencias

Teorema de Kolmogorov FX (x ) = PX (X  x ) Dada X una variable aleatoria real en (,,P) tenemos la función de distribución FX (x ) = PX (X  x ) que satisface FX es continua a derecha, FX es no decreciente, Lim x- FX (x ) = 0 , Lim x+ F X (x ) = 1.

 (,,P) F X (x ) = PX (X  x ) X R R x

Pregunta: Dada una función H que satisface 1,2 y 3 existe una v.a X tal que H= FX ? Respuesta: Si

Extensión a procesos estocasticos Dado {Xt}tT un proceso estocástico en (,,P) tenemos la familia de funciones de distribución finito dimensiónales FXt= { Ft1,..., tn(x1,..., xn ) = Pt1,..., tn(Xt1 x1 ,..., Xtn xn ) para cada t1,t2,...,tn T} que son funciones de distribución para los vectores aleatorios (Xt1,..., Xtn) y además satisfacen las condiciones de consistencia:

Condición de simetría. Sea {i1,i2,. ,in } una permutación de {1,2, Condición de simetría. Sea {i1,i2,... ,in } una permutación de {1,2,...,n} entonces Fti1, ti2,..., tin (xi1, xi2,..., xin ) = Ft1, t2,..., tn(x1, x2,..., xn ) b) Condición de compatibilidad. Para m<n y tm+1,tm+2,... ,tm+n T arbitrarios Ft1,..., tn,tm+1,..., tm+n (x1,...,xn , ,...,) = Ft1,...., tn(x1,...,xn )

Pregunta: Dada una familia de funciones L (indexada por sucesiones finitas en T ) consistente existe un p.e. {Xt}tT tal que L = FXt ? Respuesta: Si , el teorema de Kolmogorov contesta esto y mas, hace una construcción de un proceso estocástico canónico para L.

Procesos estocástico canónico (T. Kolmogorov) Dada una familia de funciones L (indexada por sucesiones finitas en T) consistente existe un p.e. {Xt}tT en (,,P) tal que L = FXt, con =RT =-álgebra generad por cilindros P extendida desde los cilindros desde L Xt=(t) proyección de  en t.

Dado p. e. arbitrario {Xt}tT en (,,P) tal que con fdfd Dado p.e. arbitrario {Xt}tT en (,,P) tal que con fdfd. Fxt tiene asociado un proceso canónico (a partir de Fxt) dado por {Xt}tT en (,,P) con =RT =-álgebra generada por cilindros P extendida desde los cilindros desde Fxt Xt= (t) proyección de  en t. !!! Un p.e. es una función aleatoria!!!

{Xt}tT p.e. X(t,) p.e. R   t T Para cada t, Xt :  R v.a. de  en R X(t,) p.e. R   Para  fijo esta es una función de T en R (trayectoria, realización) t T p.e. Canónico Xt= (t) proyección de la funcion aletaoria  en t Colección de realizaciones =RT con su probabilidad P [Función aleatoria]

Formalizado por Wiener 1923 [Proceso de Wiener] Movimiento Browniano Movimiento irregular exhibido por partícula pequeña en un fluido. Observ. por Brown 1827 Explicado por Einstein 1905 Formalizado por Wiener 1923 [Proceso de Wiener]

Un Movimiento Browniano Estándar { B(t) : t  0 } es un proceso estocástico que tiene (i) caminos continuos, (ii) incrementos estacionarios, independientes, y (iii) B(t) ~ N(0; t) para todo t  0.

Interpretación de las condiciones Distribución de los incrementos P { : B(.,) es una función continua} = 1 para cada 0  t1 < t2 <... < tn <  B(t2)- B(t1) , ..., B(tn)- B(tn-1) son independientes y B(t)- B(s) solo depende de t-s. Distribución de los incrementos P {B(0)=0}=1 B(t)- B(s) ~ B(t-s) - B(0) = B(t-s) ~ N(0; t-s)

Normalidad Gaussiano RB(s,t) = E[B(t) B(s) ] = Cov(Bs,Bt) = =s ^ t. Un proceso Gaussiano con caminos continuos, media 0, y función de covarianza RB(s,t) = s ^ t es un movimiento Browniano estándar.

Omnipresente v. a. D. Normal p. e. M. Browniano (P. Wiener)

A (;2) Brownian motion is of the form X(t) =X(0) +t +  B(t); where B is a standard Brownian motion.

Existe el movimiento Browniano? “One of the leading results on Brownian motion is that it exits” D. Friedman Un movimiento Browniano en Rn esta compuesto de movimientos brownianos unidimesionales independientes. Sea x Rn fijo definimos P(t,x,A) = (2t )-n/2 • exp (|x-y|2 /2t) dy para y Rn y t  0, i.e., la densidad de probabilidad en y después de un tiempo t partiendo de x.

 = (Rn)T o = {conjunto de partículas} Usando dos teoremas de Kolmogorov (extensión y continuidad) se prueba la existencia de Bt.  = (Rn)T o = {conjunto de partículas}

Difusión elemental p(t,y) p(t,y) p(t0,y)

Proceso de difusión Proceso de Markov de tiempo continuo, valor real y con trayectorias(realizaciones) continuas.

Que tan irregular es un camino Browniano ? caminos autosimilares (fractales)

( hXt1,...,  hXtn) =d (Xt1,..., Xtn) Un p.e. {Xt}tT es h-auto similar para H > 0 si sus fdfd. satisfacen la condicion ( hXt1,...,  hXtn) =d (Xt1,..., Xtn) para cada  > 0 y t1,t2,...,tn T Los caminos brownianos son 0.5 auto-similar [no diferenciables en ninguna parte] [tienen infinitos ceros en cada (0,)] [variación no acotada en cada (0,)]

Otros movimientos Brownianos Puente Browniano X(t) =B(t)-t B(1) para 0  t  1

Movimiento Browniano geométrico X(t) =et + B(t)

Ruido Blanco “Proceso puramente aleatorio” Un p.e. W(t) es un ruido blanco si E[W(t) ] = 0 Autocorrelación: RW ( ) = E[W(t) W(t- ) ]= ( ) Densidad espectral: SX ( ) = FT(RW [ ]) = 1

El ruido blanco es la derivada del movimiento Browniano cuando ambos son considerados proceso escolásticos generalizados. Wt = dBt dt

Referencias Elementary Stocahstic Calculus with A Finance View, T. Mickosch, World Sceintfic 1999. Stochastic Processes Class Notes, Chap 5., J. Chang, Yale University, http://www.stat.yale.edu/~jct/251 , 2000 Stochastic Differential Equations, B. Oksenal, Springer Verlag, 1998 Stochastic Differential Equations, L. Arnold, John Wiley, 1974 Two and one dimentional Brownian motion, http://www.ms.uky.edu/~mai/java/stat/brmo.html Commodity prices geometric brownian motion applet, http://www.math.umn.edu/~garrett/a02/Movie.class