CAUDALES. ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA ESTADÍSTICA E N LA HIDROLOGÍA ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA Los procesos hidrológicos varían en el espacio y en el tiempo.

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1 CAUDALES

2 ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA

3 ESTADÍSTICA E N LA HIDROLOGÍA ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA Los procesos hidrológicos varían en el espacio y en el tiempo de forma parcialmente aleatoria. Las crecidas, sequías y tormentas son eventos que pueden ser considerados como aleatorios El comportamiento de estos procesos se puede describir con la ayuda de la estadística. Los métodos estadísticos describen la variación aleatoria de un conjunto de observaciones de un proceso

4 TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Determina la posibilidad de que una observación x de una variable aleatoria X caiga en un rango específico de X Ej: Variable aleatoria “número de días nublados en una semana”

5 TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO POBLACIÓN Y MUESTRA La población es el conjunto infinito de observaciones de una variable aleatoria que tiene propiedades constantes La muestra es un conjunto finito de observaciones de la población de la variable aleatoria cuyas propiedades varían de una muestra a otra

6 TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO PROBABILIDADES La probabilidad de un evento A, P(A), es la posibilidad de que éste ocurra Se puede estimar a partir de la frecuencia relativa: A medida que el tamaño de la muestra aumenta, la frecuencia relativa se aproxima más a la probabilidad del evento P (A) =lim n!1 nAnA n Frequency 1020304050 Caudales diarios en un anio 607080 0 20 40 60 80

7 TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO PRINCIPIOS DE PROBABILIDADES 1.Probabilidad total: Dado un espacio muestral ( ) dividido en m eventos, entonces P (A 1 )+ P (A 2 )+ P (A 3 )+..... + P (A m ) = P ( ⌦ ) = 1 2.Probabilidad complementaria: Si ̅ es el complemento de, es decir si ̅ = Ω −, entonces: P (A ¯ ) = 1 — P (A) 3.Probabilidad condicional: Dados dos eventos dependientes, A y B, la probabilidad de condicional que ocurra B dado que el evento A ocurrió es: P (B|A) = P (A \ B) P (A) Si los eventos, A y B, son independientes, la determinación de la probabilidad es más sencilla P (A \ B) = P (A) ⇥ P (B)

8 EJEMPLO-TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO A partir de la información de la siguiente tabla de caudales medios anuales, determinar: La probabilidad de que el caudal sea menor que 4 m 3 /s La probabilidad de que el caudal sea mayor que 6 m 3 /s La probabilidad de que el caudal esté entre 4 y 6 m 3 /s durante 5 años seguidos Año Caudal (m3/s ) 19963.42 1997 4.80 19981.23 19994.69 2000 1.97 20012.39 20023.44 2003 4.76 20045.01 20052.31 2006 3.96 20075.33 20081.24 2009 0.76 20106.88 20113.70 2012 7.69 20139.19 20144.95 2015 9.88

9 EJEMPLO-TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO A partir de la información de la siguiente tabla de caudales medios anuales, determinar: La probabilidad de que el caudal sea menor que 4 m 3 /s La probabilidad de que el caudal sea mayor que 6 m 3 /s La probabilidad de que el caudal esté entre 4 y 6 m 3 /s durante 5 años seguidos Año Caudal (m3/s ) Caudal Ordenado 19963.420.76 1997 4.801.23 19981.231.24 19994.691.97 2000 1.972.31 20012.39 20023.443.42 2003 4.763.44 20045.013.70 20052.313.96 2006 3.964.69 20075.334.76 20081.244.80 2009 0.764.95 20106.885.01 20113.705.33 2012 7.696.88 20139.197.69 20144.959.19 2015 9.88

10 FUNCIONES DE FRECUENCIA Y DE PROBABILIDAD FUNCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA fs(x): Representa la probabilidad en un intervalo de una muestra FUNCIÓN DE FRECUENCIA ACUMULADA Fs(x): Representa la probabilidad acumulada hasta cierto valor de una muestra La frecuencia relativa y la frecuencia acumulada están definidas para una muestra i fs(x ) = n i n

11 FUNCIONES DE FRECUENCIA Y DE PROBABILIDAD FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD F(x): Representa la probabilidad acumulada hasta cierto valor de la población La densidad de probabilidad y distribución de probabilidad están definidas para una población FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD f(x): Representa la concentración o densidad de probabilidad para cualquier valor

12 FUNCIONES DE FRECUENCIA Y DE PROBABILIDAD

13 DISTRIBUCIÓN NORMAL FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA µ = 0, o = 1

14 DISTRIBUCIÓN NORMAL  La distribución normal (en ocasiones llamada distribución gaussiana) es la distribución continua que se utiliza más comúnmente en estadística.  En la distribución normal, uno puede calcular la probabilidad de que varios valores ocurran dentro de ciertos rangos o intervalos.

15 EJEMPLO-DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES A partir de la función de distribución normal estandarizada, determinar la probabilidad de que la variable normal estandar (z): Sea menor que 1 Sea mayor que 1.5 Sea menor que -2 Esté entre -2 y 1 Chow etal., 1994

16 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES Los parámetros estadísticos muestran las características principales de una muestra o población Chow etal., 1994

17 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS PARÁMETROS USADOS PARA HIDROLOGÍA CAUDALES ESTADÍS TICA HIDROL ÓGICA

18 EJEMPLO-PARÁMETROS ESTADÍSTICOS ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES En la siguiente tabla se presentan los caudales promedio de un río. A partir de estos datos determinar los parámetros estadísticos principales (media, desviación estándar, coeficiente de variación y coeficiente de asimetría) Caudal Año (m3/s) 201114.18 201212.55 201310.81 201415.99 201516.52 201611.48

19 AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES MÉTODOS DE AJUSTE El ajuste permite de datos hidrológicos a una distribución de probabilidades permite resumir los datos de forma compacta con sus parámetros asociados El ajuste resulta en definir los parámetros de la distribución de probabilidades que se asocian a los datos hidrológicos. Existen dos métodos: Método de Momentos Método de Máxima Verosimilitud

20 AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES MÉTODO DE MOMENTOS Se usa como parámetros de la función de densidad de probabilidades, los momentos correspondientes a los datos de la muestra

21 AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD La estimación de los parámetros de la distribución de probabilidades es el valor máximo que haga la máxima probabilidad de obtener la muestra, que se obtiene a partir de la función de verosimilitud n Y i =1 i L =f(x ) En hidrología el método de momentos resulta más práctico

22 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES EN HIDROLOGÍA ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES Funciones de distribución que se utilizan en hidrología: Normal LogNormal Exponencial Extrema tipo 1, 2, 3 LogGumbel Gamma Pearson Tipo 3 o Gamma de 3 parámetros LogPearson 3

23 DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES Parámetros x¯ =x¯ = P n i =1 x i n Sx =Sx = ( 1 n — 1 n X i =1 2 ⇥ (x i — x¯) )1/2)1/2 1 p(x) =peo2⇡p(x) =peo2⇡ 2 22—(x—µ) /2o22—(x—µ) /2o -3-20123 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x Surge del teorema del límite central Es simétrica La mayor limitación es que la mayoría de información hidrológica es asimétrica Función de densidad

24 DISTRIBUCIÓN LOG- NORMAL ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES Parámetros Requiere una transformación logarítmica de los datos Reduce la asimetría positiva Requiere que los valores transformados sean simétricos entorno a su media Función de densidad y¯ = P n i =1 yiyi n Sy =Sy = ( 1 n — 1 n X i =1 2 ⇥ (y i — y¯) )1/2)1/2 1 xoy2⇡xoy2⇡ p(x) = p e y 2 / —( y — µ )2 o 2y2y 012345 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 x

25 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES Describe tiempos de interarribo a sistemas hidrológicos Es muy fácil de estimar su único parámetro (método de máxima verosimilitud y de momentos) Requiere imperativamente que los eventos sean completamente independientes de sus vecinos Función de densidad Estimación de parámetros p(x) = Ze — Zx Z = 1/x¯ 012345 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x

26 DISTRIBUCIÓN DE VALORES EXTREMOS ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES Se especializa en valores máximos y mínimos Existe tres tipos de distribuciones de valores extremos Distribución de Probabilidades (✓(✓ P (x) = exp—11 — k x — Ø ↵ ◆ 1 /k ) Cuando k = 0 Cuando k 0 Valores Extremos tipo I (Gumbel) Valores Extremos tipo II (Fischer) Valores Extremos tipo III (Weibull)

27 DISTRIBUCIÓN GUMBEL (VALOR EXTREMO TIPO I) ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES Estimación de parámetros ↵ = 0.779696S x Ø = x¯ — 0.5772 ↵ 1—(x — Ø) p(x) =exp ↵ — exp ✓ —(x — Ø) ↵ ◆Σ◆Σ Una de las más utilizadas en hidrología Tiene solamente 2 parámetros Función de densidad -3-20123 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x

28 DISTRIBUCIÓN LOG- GUMBEL ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES Estimación de parámetros Requiere la transformación logarítmica Se usa cuando la asimetría es muy grande Función de densidad 1—(y — Ø) p(x) =exp x↵↵x↵↵ — exp ✓ —(y — Ø) ↵ ◆Σ◆Σ ↵ = 0.779696S y Ø = y¯ — 0.5772 ↵ 0.00.51.01.52.02.53.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x

29 DISTRIBUCIÓN GAMMA ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES Representa el tiempo de ocurrencia de varios eventos en un evento de Poisson Se basa en la función gamma Útil para variables hidrológicos asimétricas Existen 7 familias de distribución gamma p(x) = Función de densidad Z Ø x Ø —1 e — Zx F(Ø)F(Ø)

30 PEARSON TIPO III (GAMMA DE 3 PARÁMETROS) ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES Función de densidad Estimación de parámetros ↵ = S x Cs/2 Ø = (2/Cs) 2 x 0 = x¯ — ↵ Ø ✓ 1x — x 0 p(x) = ⇥ | ↵ |F(Ø) ↵ ◆ Ø—1Ø—1 ✓ ⇥ exp— x — x 0 ↵ ◆ Utiliza tres parámetros (se determinan de los tres primeros momentos de la muestra) Usada para caudales picos

31 LOG-PEARSON TIPO III ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES Función de densidad Estimación de parámetros Utiliza tres parámetros (se determinan de los tres primeros momentos de la muestra) Usada para caudales picos ↵ = S y Cs y /2 Ø = (2/Cs y ) 2 1 p(x) = ⇥ x| ↵ |F(Ø) ✓ y — y 0 ↵ ◆ Ø—1Ø—1 ✓ ⇥ exp— y — y 0 ↵ ◆ y 0 = y¯ — ↵ Ø

32 ELECCIÓN POR PRUEBAS DE AJUSTE Y ESTADÍSTICOS Métodos: Prueba Kolmogorov-Smirnov Prueba 2 ECMF (Error cuadrático medio de frecuencias) ECMV (Error cuadrático medio) AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES

33 EJEMPLO-DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES ESTADÍSTICA HIDROLÓGICA CAUDALES En la siguiente tabla se presentan los caudales promedio de un río. A partir de estos datos determinar los parámetros de las distribuciones de probabilidades : Normal, LogNormal, Gumbel, LogGumbel, Pearson Tipo III, LogPearson Tipo III Caudal Año (m3/s) 201114.18 201212.55 201310.81 201415.99 201516.52 201611.48