C ONCEPTOS BÁSICOS DE I NFERENCIA II 1. Teorema 1. Si X~N(µ, σ) y Y=aX+b donde a y b son constantes, entonces: Teorema 2. Si X1, X2, …, Xn son variables.

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1 C ONCEPTOS BÁSICOS DE I NFERENCIA II 1

2 Teorema 1. Si X~N(µ, σ) y Y=aX+b donde a y b son constantes, entonces: Teorema 2. Si X1, X2, …, Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, donde X i ~ N(µ i, σ i ) y además: Y=X 1 +X 2 +…+X n, entonces: 2

3 Ejercicio 8. Sean X 1, X 2, X 3 tres variables aleatorias independientes con las siguientes distribuciones: X 1 ~ N(1000, 200), X 2 ~ N(500, 100), X 3 ~ N(2000, 500) Calcule: a.P(X 1 + X 2 + X 3 < 4500) = ? b.Si P(X 1 + X 2 + X 3 >Y 0 ) = 0.0968, encuentre el valor de Y 0. c.Si definimos la variable aleatoria W como: W = 2X 1 + 3X 2 encuentre: P(2500 < W < 3800) 3

4 Es una distribución útil en la modelación de variables aleatorias con asimetría positiva o cuando se desea contrastar la significancia de una varianza. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución Chi- Cuadrada, si su función de densidad es: donde k son los grados de libertad de la distribución. La función Γ(k) es llamada función Gamma y se define como: D ISTRIBUCIÓN C HI -C UADRADA 4

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6 Teorema 3. Una variable Normal Estándar al cuadrado se distribuye Chi-Cuadrado. Teorema 4. variables aleatorias independientes, entonces: La suma de los cuadrados de p variables aleatorias independientes distribuidas Normal Estándar, tiene distribución Chi-Cuadrado con p grados de libertad. Teorema 5. variables aleatorias independientes, entonces: La suma variables aleatorias independientes distribuidas Chi-Cuadrado, tiene distribución Chi-Cuadrado con parámetro igual a la suma de los grados de libertad de las variables sumandos. 6

7 E JEMPLO Si X se distribuye Chi-Cuadrado con 10 grados de libertad, encuentre: Esta integral es un poco compleja de calcular, pero no resulta ser una preocupación ya que estas probabilidades aparecen tabuladas para diferentes valores del limite superior de la integral de x y para distintos grados de libertad. Esta probabilidad se encuentra en la tabla de la Distribución Chi-Cuadrado o en R con el comando pchisq(15.98,10) 7

8 8 Grados de libertad Valor de X Probabilidad

9 E JERCICIOS 1. Sea X una variable aleatoria con distribución Chi-Cuadrado con k grados de libertad, calcule el valor de Y tal que: 2. además X y Y son independientes. a.Encuentre el valor V 0 tal que: P( X + Y < V 0 ) = 0.975 b.Encuentre: P( 29.34 < X + Y < 44.314) 9

10 Publicada por primera vez en 1908 por William Gosset, empleado de una cervecería Irlandesa que desaprobaba la publicación de trabajos de investigación por parte de sus trabajadores. Para evitar esta restricción Gosset publico bajo el seudónimo de “The Student”. La distribución t- Student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño o cuando no se conoce la desviación poblacional (σ). Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución t-Student, si su función de densidad es: donde k son los grados de libertad de la distribución. D ISTRIBUCIÓN T -S TUDENT 10

11 La distribución t se asemeja a la distribución Z porque ambas son simétricas alrededor de una media cero y tienen forma de campana. A medida que aumenta el tamaño de muestra la distribución t-Student tiende a parecerse mucho a la Normal Estándar. Teóricamente la Normal es el límite de la t-Student cuando el tamaño de muestra tiende a infinito. 11

12 Entre menos grados de libertad tenga la distribución t-Student, mas pesadas tendrá las colas (la probabilidad de encontrar valores atípicos es mas alta). 12

13 Teorema 6. Si Z tiene distribución Normal Estándar y U tiene distribución Chi- Cuadrado con k grados de libertad y además Z y U son independientes, entonces: Ejemplo: Si T se distribuye t-Student con 7 grados de libertad, encontrar: Esta probabilidad se puede hallar en la tabla tabulada para esta distribución o en R con el comando pt(0.20,7) 13

14 Grados de libertad Probabilidad Valor de X 14

15 E JERCICIOS 1. Sea T una variable aleatoria con distribución t-Student con k grados de libertad, calcule el valor de Y tal que: 2.Determine los siguientes valores de la distribución T que dejan en la cola izquierda la probabilidad indicada: 15

16 Es una distribución de gran aplicación en la inferencia estadística, fundamentalmente en la contrastación de igualdad de varianzas de dos poblaciones normales y en el Análisis de Varianza (ANOVA), técnica que permite contrastar si existen diferencias significativas entre muestras diferentes. Donde m son los grados de libertad en el numerador y n son los grados de libertad en el denominador. D ISTRIBUCIÓN F 16

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18 Teorema 8. Teorema 7. Sea U y V dos variables aleatorias con distribución Chi-Cuadrado con m y n grados de libertad respectivamente, además U y V son independientes, entonces la variable aleatoria: Ejemplo: Sea X una variable aleatoria distribuida F con 3 y 4 gl, calcule P(X<6.59) En R se puede obtener mediante el código pf(6.59,3,4) 18

19 E JERCICIOS Sea F una variable aleatoria con distribución F de Snedecor, calcule el valor de C tal que: 19