Competencia específica a Unidad 2. F u n c i o n e s Competencia específica a Desarrollar. Comprender el concepto de función real y tipos de funciones, así como estudiar sus propiedades y operaciones.

Actividades de Aprendizaje Unidad 2. F u n c i o n e s Actividades de Aprendizaje • Identificar, cuándo una relación es una función entre dos conjuntos. • Identificar el dominio, el codominio (rango, contradominio o ámbito) y el recorrido de una función. • Reconocer cuándo una función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva. • Representar una función real de variable real en el plano cartesiano. (gráfica de una función).

Unidad 2. F u n c i o n e s • Construir funciones algebraicas de cada uno de sus tipos. • Construir funciones trascendentes, trigonométricas circulares y funciones exponenciales haciendo énfasis en las de base e. • Reconocer las gráficas de las funciones trigonométricas circulares y gráficas de funciones exponenciales de base e. • Graficar funciones con más de una regla de correspondencia. • Graficar funciones que involucren valores absolutos.

Unidad 2. F u n c i o n e s • Realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. • Reconocer el cambio gráfico de una función cuando ésta se suma con una constante. • Mediante un ejercicio utilizar el concepto de función biyectiva para determinar si una función tiene inversa, obtenerla, y comprobar a través de la composición que la función obtenida es la inversa. • Identificar la relación entre la gráfica de una función y la gráfica de su inversa.

Unidad 2. F u n c i o n e s • Proponer funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales. • Plantear diversos arreglos ordenados de números reales y reconocer cuáles de ellos corresponden a una sucesión. A partir de ecuaciones reconocer funciones que implícitamente estén contenidas en ellas.

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN UNA FUNCIÓN: una función puede considerarse como una correspondencia entre un conjunto (X) de números reales (x) a un conjunto (Y) de números reales (y), donde cada valor de (y) corresponde a un sólo valor de (x).

Variable independiente DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN X Variable independiente Dominio f Variable dependiente Y = f(X) Codominio, (Contradominio Rango, ámbito)

Ejemplo f(x)=y=x^2 Codominio (contradominio o rango o ámbito) Dominio -5.00000 25.00000 -4.00000 16.00000 -3.00000 9.00000 -2.00000 4.00000 -1.00000 1.00000 0.00000 0.00000 1.00000 1.00000 2.00000 4.00000 3.00000 9.00000 4.00000 16.00000 5.00000 25.00000

Pares ordenados de números (x , y) 3 2 -5 4 5 1 -4 -3 25 -1 -2 1 4 PRIMER NÚMERO 16 9 SEGUNDO NÚMERO

f(x) = y = x-1 X f(x) 0.00000 undefined Y X DOMINIO DOMINIO 1.00000 0.00000 1.20000 0.44721 1.40000 0.63246 1.60000 0.77460 1.80000 0.89443 2.00000 1.00000 2.20000 1.09545 2.40000 1.18322 2.60000 1.26491 2.80000 1.34164 3.00000 1.41421 3.20000 1.48324 3.40000 1.54919 3.60000 1.61245 3.80000 1.67332 4.00000 1.73205 4.20000 1.78885 4.40000 1.84391 4.60000 1.89737 4.80000 1.94936 5.00000 2.00000 Y f(x) = y = x-1 X DOMINIO DOMINIO CONTRADOMINIO

Sea el conjunto A ={1, 2, 3} Le aplicamos la función: f(x) = x + 1 Se obtienen los primeros tres elementos del conjunto B = {2, 3, 4, 5} Es decir: Al conjunto A se llama dominio de la función. Al conjunto B se llama codominio de la función. A los elementos de B obtenidos a partir de f(x) se les llama imagen o rango (en este ejemplo el codomino y la imagen NO tienen los mismos elementos). y = f (x): variable dependiente. x: variable independiente.

Inyectiva. Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino. Ejemplo 1: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: AB: f={(1,2), (2,1), (3,3)} Es decir, gráficamente queda: Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea. ENTONCES ES INYECTIVA.

Ejemplo 2. Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: AB: f={(1,2), (2,1), (3,2)} (solo se cambio el número indicado en rojo) Gráficamente queda: Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto NO ES INYECTIVA.

Gráficamente queda: Al conjunto B = {2,4} se le llama codominio. Funciones suprayectivas. Cuando el rango y el codomino son iguales la función es suprayectiva. Ejemplo 5: Sean los conjuntos: A = {1,2,3} y B = {2,4} y la función f = {(1,2), (2,2), (3,4)} Gráficamente queda: Al conjunto B = {2,4} se le llama codominio. El rango de la función también es I = {2,4} Como el codominio y el rango son iguales la función es SUPRAYECTIVA

Sean los mismos conjuntos anteriores PERO con la función: f = {(1,2), (2,2), (3,2)} gráficamente queda de la siguiente forma: El codomino B = {2, 4}. El rango o imagen es: I = {2} Como el codominio y el rango NO son iguales la función es NO ES SUPRAYECTIVA En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la imagen deben ser todos los reales.

Funciones Biyectivas. Para que una función sea biyectiva se requiere que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva. Ejemplo. La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es biyectiva.

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas Las funciones pueden clasificarse como inyectivas, suprayectivas y biyectivas; para entenderlo debemos recordar las definiciones de domino, imagen, codomino, variable dependiente y variable independiente

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES POR SU NATURALEZA

Funciones algebraicas: es aquella que esta formada por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, elevación de potencias y la extracción de raíces)

Función Trascendentes: es aquella que no cumple con las condiciones de una función algebraica (trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas)

LAS FUNCIONES ELEMENTALES SE DISTRIBUYEN EN TRES CATEGORÍAS 1. FUNCIONES ALGEBRAICAS (POLINÓMICAS, RADICALES, RACIONALES) 2.FUNCIONES TRIGONOMETRÍCAS (SENO, COSENO, TANGENTE, ETC) 3. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIONES POLINÓMICAS

FUNCIÓN CONSTANTE f(X) = a (grado cero) y = 3

FUNCIÓN LINEAL f(X) = ax + b (grado uno) y = 2x + 1

FUNCIÓN CUADRÁTICA f(X) = ax2 + bx + c (grado dos) y = x2

FUNCIÓN CÚBICA f(X) = ax3 + bx2 + cx + d (grado tres) y = x3 + 4x

f(X) = ax4+ bx3 + cx2 + dx + e (grado cuarto) y = x4 + 4x2+2

f(x) = ax5+ bx4+ cx3 + dx2 + ex + f (grado quinto) y = x5 - 5x3 + 4

FUNCIONES RACIONALES

Función racional Una función racional puede expresarse como el cociente de dos polinomios y = 2 x

y = 2 x

y = 2 x

y = 3 x – 5 x - 2 y = 1 + 3 x - 2

y = x2 + 1 x

y = x2 - 1 x

y = 5 x 2 - 1

FUNCIONES IRRACIONALES

y = x

y = x + 3

y = x2 + 4

y = x2 - 4

FUNCIONES EXPONENCIALES

y = 2x

y = (1/2)x y = 2-x

y = ex

y = 10x

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

y = log2x

y = log1/2x y = -log2x

y = Ln x

y = log x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

y = sen x

y = cos x

y = Tg x

y = cotg x

y = sec x

y = cosec x

Función definida parte por parte

Función definida parte por parte

Función inversa

Función inversa f(x) = x − 5 2 f−1(x) = 2x + 10

Función implícita

Función implícita x3 + xy − y3 = 0

Clasificación de las funciones por sus propiedades

Clasificación de funciones por sus propiedades Función creciente y decreciente. Función par o impar. Función simétrica. Función periódica

Función creciente y decreciente.

Función creciente y decreciente. Función decreciente

Función par o impar La función y = f(x) es par si f(-x) = f(x)

Función par o impar La función y = f(x) es impar si f(-x) = - f(x)

Función simétrica

Funciones Periódicas Sen (x) periódo:2p Cos (x) periódo:2p Tg (x) periódo: p CoTg (x) periódo: p Sec (x) periódo: 2p Cosec (x) periódo:2p