Tractament de Dades Experimentals Errors experimentals Propagació d'errors Expressió d'un resultat experimental Error d'una magnitud en funció d'altres Resum per calcular errors Ajust d'una recta Procediment gràfic Regressió lineal (amb Excel) © 2013 Quim Trullàs Aquestes transparències es poden utilitzar amb fins educatius no comercials, sempre que s'indiqui l'autoria These transparencies may be used for educational non-commercial purposes so long as the source is attributed

Tractament de Dades Experimentals Errors experimentals Quan mesurem una determinada magnitud (voltatge, intensitat, ...), el resultat no és un valor exacte, sinó un interval al voltant d'un valor aproximat. El resultat de la mesura s'acostuma a escriure - x és el valor del resultat de la mesura que es considera millor - x és l'error de x L'error relatiu es defineix com Tot aparell de mesura té un error de resolució que depèn de si l'aparell és analògic digital © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Tractament de Dades Experimentals Aparells analògics Resolució: diferència entre dos valors consecutius de l'escala Error de resolució = Resolució/2 A l'exemple la resolució és de 0.2 A La intensitat mesurada, I ,està en l'interval 4.2 A < I < 4.4 A  I = 4.3 A L'error de la mesura és I = Resolució/2 = (0.2 A)/2 = 0.1 A  I = 4.3 A  0.1 A = (4.3  0.1) A   rel,I = 0.1/4.3 = 0.024  2.4% Aparells digitals Resolució: una unitat de l'últim dígit Error de resolució = Resolució A l'exemple la resolució és de 0.001 A I = 0.198 A L'error de la mesura és I = Resolució = 0.001 A I = (0.198  0.001) A = (198  1)10-3 A = (198  1) mA  rel,I = 1/198 = 0.005  0.5% © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Tractament de Dades Experimentals Propagació d'errors No totes les magnituds es poden mesurar directament. Exemple: L'àrea d'un cercle, A, es determina a partir del seu diàmetre D, Si una magnitud z és funció d'una altra magnitud x, z(x) , quan calculem el valor de z a partir de la mesura directa, x  x , l'error de x és propaga a la mesura indirecta de z, z  z . Si z'(xo) = a xo Taylor: z(x)  z(xo) + z'(xo)·(x-xo) z(xo+x)  z(xo) + z'(xo)x z(xo-x)  z(xo) - z'(xo)x L'error estimat de z és   z(x) xo xo+ex xo-ex x z(xo+ex) z(xo) z(xo-ex) © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Tractament de Dades Experimentals Exemple: Quina és l'àrea d'un cercle de diàmetre D = (12.5  0.5) mm? (12.5 mm)2/4 = 122.71846 mm2  Té sentit escriure (122.71846  9.817477) mm2 ???  © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Expressió d'un resultat experimental Té sentit escriure (122.71846  9.817477) mm2 ???? És absurd donar la magnitud amb 4 decimals si l'error és de l'ordre de 10 També és absurd donar un error amb tants dígits Hem de suprimir xifres. Ho podem fer de tres maneres: a) Aproximació per defecte o truncament Suprimir les xifres sobrants Exemple si no volem decimals 42.984  42 ; 42.373  42 ; 42.500  42 b) Aproximació per excés Suprimir les xifres sobrants i sumar una unitat a l'última xifra expressada Exemple si no volem decimals 42.984  43 ; 42.373  43 ; 42.500  43 c) Arrodoniment Truncar o aproximar per excés d'acord amb el criteri següent: - Si la xifra d'ordre més alt suprimida és inferior a 5, es trunca - Si la xifra d'ordre més alt suprimida és superior o igual a 5, s'aproxima per excés Exemple si no volem decimals 42.984  43 ; 42.373  42 ; 42.500  43 © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

amb 2 xifres significatives amb 1 xifra significativa Xifres (dígits) d'un número sense comptar els zeros que indiquen ordre decimal. Exemple: La primera xifra significativa de 0.09641 és el 9 i la segona el 6. L'error s'aproxima per excés amb dues (o una) xifres significatives Exemples de l'expressió correcta dels errors Valor de l'error amb 2 xifres significatives amb 1 xifra significativa 1.3458 1.4 2 57.763 58 60 = 610 0.0276 0.028 0.03 247000 = 24.7104 250000 = 25104 = 0.25106 3105 = 0.3106 0.0298 0.030 Una vegada s'ha expressat l'error amb una o dues xifres significatives, el valor de la magnitud s'expressa de manera que l'última xifra significativa sigui del mateix ordre que la d'ordre més baix a l'error. © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Tractament de Dades Experimentals Una vegada s'ha expressat l'error amb una o dues xifres significatives, el valor de la magnitud s'expressa de manera que l'última xifra significativa sigui del mateix ordre que la d'ordre més baix a l'error. El valor de la magnitud s'arrodoneix Exemples de l'expressió correcta del resultat d'una mesura (amb dues xifres significatives a l'error) Magnitud Error Expressió correcta 2.5483 1.3458 2.5  1.4 3458.9353 57.763 3459  58 67.8295 0.0276 67.830  0.028 98657320.6 247000 9866104  25104 809.4563 0.0298 809.456  0.030 Exemple: A = 122.71846 mm2 i A = 9.817477 mm2 2 xifres significatives a A A = (122.7  9.9) mm2 = (1.227  0.099) cm2 1 xifra significativa a A A = (123  10) mm2  (1.2  0.1) cm2 © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Error d'una magnitud funció d'altres Si z depèn de més d'una magnitud z(x1, ..., xi,..., xN) amb el seu error z és la mitjana quadràtica dels errors que produirien cadascuna de les variables ( ) per separat suposant que les altres són constants. Cada ( ) produeix un (i = 1,...., N) i l'error propagat a z és és la derivada parcial de z respecte xi , és a dir, derivar z respecte xi com si les altres variables fossin constants. En el cas d'una magnitud que depèn de dues variables, z(x,y), i  Exemple: z = ax - by  © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Tractament de Dades Experimentals Errors de magnituds que són productes i quocients En els dos casos particulars z(x) = ax i z(y) = a/y on a és constant, i pot ser a = 1, z = ax   z = a/y   En el cas d'una magnitud z que depèn de dues variables x i y de la forma z = bxy o z = bx/y  i © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Resum per calcular errors En els aparells analògics es considera que l'error de resolució és igual a la meitat de la diferència entre dos valors consecutius de l'escala. En els aparells digitals es considera que l'error de resolució és igual a una unitat en l'últim dígit. El resultat de la mesura s'acostuma a escriure x  x x és el resultat de la mesura que es considera millor i x és un nombre real positiu (amb les mateixes unitats que x) anomenat error absolut. L'error relatiu es defineix com L'error estimat de z(x) és     Exemples: z = ax  z = a/y  on a és una constant que pot ser a = 1 © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Tractament de Dades Experimentals L'error estimat de z(x,y), és la mitjana quadràtica de l'error que produiria x, z(x), i el que produiria y, z(y), suposant que l'altra variable és constant. Exemple: z = ax - by  En el cas de les magnituds que s'expressen com productes i quocients z = ax o z = a/y  on a és una constant que pot ser a = 1 L'ERROR S'APROXIMA PER EXCÉS a 2 (o 1) xifres significatives. EL VALOR DE LA MAGNITUD S'ARRODONEIX, de manera que l'última xifra significativa sigui del mateix ordre que la d'ordre més baix a l'error. © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Tractament de Dades Experimentals Ajust d'una recta Exemple: La resistivitat  d'un material canvia amb la temperatura T segons  = aT + 0 on a i 0 són constants Per determinar els valors de a i 0 cal mesurar  a diferents T. Si mesurem  per a N valors diferents de T tindrem un N parells de valors (Ti, i). Teòricament aquests punts haurien d'estar sobre la recta  = aT + 0. A la pràctica, però, com a conseqüència dels errors en les mesures de T i , els punts no estan perfectament alineats. T  T1 T2 Ti TN 1 N i 2 © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Tractament de Dades Experimentals En el cas general d'una magnitud y ( a l'exemple) que és funció d'una altra magnitud x (T a l'exemple) segons una relació lineal y = ax + b per determinar els valors de a i b cal mesurar y per a N valors diferents de x, de manera que tindrem N parells de punts (xi, yi). Llavors per determinar els valors de a i b tenim dos possibles maneres de fer-ho: Procediment gràfic Regressió lineal Procediment gràfic Dibuixem (amb un regle) una recta que passi el més a prop possible de tots els punts experimentals (els negres a la figura). No cal que la recta passi per cap punt. L'ordenada del punt de la recta que talla l'eix de les y és el terme b, b = y(x =0) A partir de dos punts (xa, ya) i (xb, yb) de la recta (els blancs), el pendent és (xa,ya) x y x1 x2 xi xN y1 yN yi y2 (xb,yb) b © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Tractament de Dades Experimentals Regressió lineal Matemàticament, amb mètode dels mínims quadrats, que consisteix a fer mínima la suma dels quadrats de les diferències entre l'ordenada del punt experimental i la corresponent a la recta ajustada per a la mateixa abscissa es demostra que La recta que s'obté amb aquests paràmetres a i b, s'anomena recta de regressió, que la podem pintar a partir de dos punts per dos valors de x, xa i xb (xa, ya=axa+b) (xb, yb=axb+b) (xb,yb) (xa,ya) x y x1 x2 xi xN y1 yN yi y2 © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals

Tractament de Dades Experimentals L'Excel (97) permet fer la regressió lineal (Apèndix D) A les columnes A i B introduïm els valors de x i y. Marquem els valors de les columnees A i B. Cliquem la icona "Asistente para gráficos" /º Triem el tipus de gràfic "XY (Dispersión)" subtipus "Dispersión con puntos de datos conectados por lineas suavizadas". Cliqueu un punt i quedaran tots seleccionats. Premeu el botó dret del ratolí i trieu "agregar linea de tendencia" (lineal). A "opciones" marqueu "Presentar ecuación en el gráfico" Excel 2010 Insertar Dispersión Agregar línea de tendencia (lineal) Presentar ecuación en el gráfico © 2013 Quim Trullàs (UPC) Tractament de Dades Experimentals