III. Models de probabilitat 1) Variables discretes i contínues Diem que una variable és discreta quan els valors que pot prendre tenen una separació mínima fixada . Nombre de ... Data Les variables de tipus es poden convertir en discretes molt fàcilment. Mascle  0 Femella  1 Blanc  0 Negre  1 Vermell 2 Les variables contínues poden prendre valors arbitràriament semblants Posició Pes Temperatura

A) Variables discretes a) La distribució uniforme discreta El cas més senzill de distribució és el de la distribució uniforme discreta, on tots els events simples són igualment probables. La moneda: P() = 1/2 = P() El dau: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6 Les cartes: P(una carta determinada) = 1/48 La ruleta: P(un nº determinat) = 1/37

b) La distribució d’En Bernouilli La distribució d’En Bernouilli és la corresponent a una variable aleatòria discreta que només pot prendre DOS valors, A i B (o 0 i 1), amb probabilitats p i p’ = 1 -p. La moneda n’és un cas especial : només pot tenir dos valors (cara o creu) amb probabilitat 0.5 i 1 - 0.5. El dau no trucat pot ser reduit a una distribució d’En Bernouilli si fem A = as, B = no as (agrupem tots els altres events en un). Aleshores, P(A) = 1/6 i P(B) = 5/6 Un dau trucat (o una moneda trucada) també, però aleshores no sabem (al menys sense fer un test extensiu) quina és P(A), malgrat sí que sempre tenim P(B) = 1 - P(A)

c) La distribució Binomial La distribució Binomial està molt lligada a la d’En Bernouilli, i de fet correspon a la suma de N processos d’En Bernouilli independents. Quan llencem un dau no trucat N vegades, quina és la probabilitat de treure n vegades l’as? Òbviament, podem treure de 0 a N asos. Cada vegada que llencem, tenim probabilitat p de treure un as, i n N - n PN(n; p) = P(A ... A Ā ... Ā) + totes les possibles ordenacions Però totes les seqüències tenen la mateixa probabilitat, P = pn (1 - p)N-n, i com que tenim N símbols amb n i N-n repeticions, el nombre de seqüències que podem formar és N!/(n! (N-n)!), de manera que

Aquesta probabilitat la podem identificar anb el terme n-èssim del desenvolupament del binomi d’En Newton (p + (1 -p))N = 1 Per tant, és clar que

Fixada N, aquesta distribució depèn fortament de p Simètrica entre p i 1-p Fixada p, aquesta distribució depèn fortament d’N.

A mesura que N creix, veiem que: El valor on la distribució té el màxim (moda) es desplaça cap a valors més alts La distribució s’eixampla al voltant d’aquest valor, i esdevé més i més simètrica Per a caracteritzar la distribució de manera més compacta que donant tots els valors, podem definir el valor esperat d’n, E(n), i sa variança, V(n) n P(n) moda E(n)

Exemples: i) Una malatia té una probabilitat del 60% d’ésser mortal per a l’organisme infectat. Si en tenim 5 casos, quina és la probabilitat de que morin tots, 3 o cap?

ii) 25 femelles d’una certa espècie en perill d’extinció es sotmeten a un programa de reproducció assistida, que té una probabilitat d’èxit del 25%. E(n) = Np = 6.25 V(n) = Np (1-p) = 4.6875 P(0) = 0.07% P(3) = 6.4% P(5) = 16.45% ...

iii) Un detector de partícules té una eficiència del 90%, i volem usar-lo per a determinar la trajectòria de les partícules. Per a això, ens calen al menys tres deteccions. Si usem tres detectors, quina serà l’eficiència del sistema? I si n’usem 5? En el primer cas tenim que la probabilitat (eficiència) de determinar la trajectòria és donada per En el segon cas, tenim

d) La distribució d’En Poisson La distribució d’En Poisson està molt lligada a la Binomial, i descriu el límit d’un procés molt improbable (p -> 0) que repetim un nombre molt gran de vegades, N ->  , però amb Np=l finit. Si tenim una mostra amb N àtoms radiactius, que tenen cadascun una probabilitat p molt petita de desintegrar-se en un lapse de temps T, en mesurar quants d’àtoms, n, de la mostra es desintegren en el lapse T trobem un resultat aleatori, amb

Aquesta distribució només depèn de l. A mesura que l creix, veiem que: La moda de la distribució es desplaça cap a valors més alts La distribució s’eixampla al voltant d’aquest valor, i torna més i més simètrica Apareix molt sovint, típicament en els anomenats experiments de comptatge: Quants d’events ocorren en un determinat interval (de temps, espai, etc.)

Exemples: i) Una font radiactiva té una taxa de desintegracions de 2 per minut. En fer mesures durant un minut, quina és la probabilitat de detectar 0, 1, 2, 3, 4 i 5 desintegracions? P(0) = 0.135 P(1) = 0.271 P(2) = 0.271 P(3) = 0.181 P(4) = 0.090 P(5) = 0.036 E(n) = 2 V(n) = 2  s = 1.4

ii) La densitat de nius a una colònia d’ocells és de 2 per m2 ii) La densitat de nius a una colònia d’ocells és de 2 per m2. Si dividim el terreny en quadrats de 2 metres de costat, quina és la probabilitat de trobar 0, 2, 4, 6, 8 i 10 nius a un quadrat? P(0) = 1.8% P(2) = 14.6% P(4) = 19.5% P(6) = 10.4% P(8) = 2.98% P(10) = 0.53% E(n) = 4 V(n) = 4  s = 2

P(n0  n  n1) = CPF(n1) - CPF(n0 ) Ara, per a aquestes distribucions ja podem (amb la teoria de la probabilitat) respondre a qüestions particulars com: P(n0  n  n1) Distribució de probabilitat acumulada (CPF) P(n0  n  n1) = CPF(n1) - CPF(n0 ) nmín nmàx 1 n CPF(n)

B) Variables contínues Les variables contínues poden prendre valors arbitràriament semblants, malgrat que en fer una mesura sempre tindrem, degut a la precisió instrumental, una separació mínima entre valors. Si l’instrument és prou precís, les variacions aleatòries seran molt superiors a la resolució instrumental, i tindrem una situació quasi-contínua Però ara no té sentit demanar-se quina és la probabilitat de trobar un valor x, P(x), perquè mai hi anirem a parar exactament! Només té sentit P( x0  x  x1 ) = CPF(x1) - CPF(x0) CPF(x) 1 x

La funció de densitat de probabilitat (PDF) és f(x)  dxCPF(x) La PDF verifica: f(x)  0 x  ] -, +  i ens permet, com en el cas discret, definir Sovint caldrà càlcul integral, tant analític com numèric. Però en molts de casos podem trobar els resultats ja determinats per altra gent (taules matemàtiques i estadístiques), al menys per a les distribucions més freqüents.

a) La distribució uniforme contínua La distribució uniforme contínua és definida per la PDF f(x) = 1/(b - a) si a  x  b i f(x) = 0 altrament a b x f(x) 1/(b-a) CPF(x) 1

b) La distribució normal o d’En Gauss La distribució normal o d’En Gauss és definida per la PDF i apareix sovint com una molt bona aproximació a la distribució de dades experimentals, pel que es recomana un estudi detallat de la distribució i ses propietats. La distribució normal depèn només de dos paràmetres, m i s, i es denota G(x; m , s).

Dependència amb m m determina el punt on la distribució té un màxim, i. e., és la moda de la distribució. Quan m creix, la distribució es desplaça en bloc cap a valors més alts d’x. La distribució és simètrica al voltant de la moda.

Dependència amb s s determina l’amplada i l’alçada de la distribució, sense desplaçar-la. Per a valors petits, la distribució és alta i estreta. Per a valors grans, és baixa i ampla.

El valor esperat d’x (el promig) coincideix amb la moda E(x) = m La variança d’x coincideix amb s V(x) = E[(x - E(x))2] = s2 Totes les distribucions normals es poden estudiar d’un sol cop gràcies a sa propietat d’escala

Basta per tant estudiar la distribució normal standard, G(x; 0, 1), per a conéixer-les totes. Amb el canvi de variable podem recuperar la informació desitjada per a qualsevols valors de m i s.

Integrals útils i que apareixen sovint

Per què és tan important, la distribució normal? 1) La distribució binomial BN(n; p) es pot aproximar bé per una distribució gaussiana amb m = N·p i s2 = N·p·(1-p) sempre i quan es verifiqui N·p  5 i N·(1 - p)  5.

Això ens permet estalviar molts de càlculs llargs i complicats per a determinar probabilitats acumulades de la distribució binomial BN(n; p), Al segon exemple anterior, P(n  70) = 36.4 %, mentre que l’aproximació dóna 36.9 % 2) La distribució d’En Poisson Pl(n) també es pot aproximar bé per una distribució gaussiana amb m = l i s2 = l sempre i quan es verifiqui l >>l l  10

Com abans, en el lìmit en que l’aproximació és vàlida, per a determinar probabilitats acumulades de la distribució d’En Poisson Pl(n), podem usar 3) El teorema del límit central Si X1, X2, ..., XN, és un conjunt de variables aleatòries independents, cadascuna amb valor esperat i variança m i i s2i , respectivament, aleshores la variable S = X1+ X2+...+ XN té les següents propietats: E(S) = m1+ m2+...+ mN V(S) = s21+ s22+...+ s2N Quan N  , la distribució d’S tendeix a ser gaussiana. En la majoria d’experiments, hi tenim moltes de fonts de fluctuacions  sovint apareixerà una distribució gaussiana per a les dades.

c) La distribució exponencial La distribució exponencial està molt relacionada amb la distribució d’En Poisson. Aquesta apareix per al nombre d’events que ocórren en un determinat interval; la distribució exponencial apareix en estudiar l’interval entre un event i el següent. Òbviament, només té sentit per a intervals no negatius. La PDF corresponent a la distribució exponencial és donada per i té les següents propietats

d) N’hi ha moltes d’altres !!!!! Distribució d’En Student, o t Distribució d’En Fisher Distribució c2 Distribució d’En Cauchy etc. Ja les anirem veient, si cal...