Invariantes de esfuerzos Consideremos un esfuerzo normal a abc de magnitud sp Las componentes de tracción en abc quedan definidas por: Pero: Por lo tanto: GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Invariantes de esfuerzos Se resuelve poniendo el determinante de la matriz igual a 0  ecuación de tercer grado: Los coeficientes son los llamados invariantes de esfuerzos: Soluciones corresponden a los esfuerzos principales (valores propios). Direcciones se calculan con los vectores propios. GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Cinemática Al aplicar una fuerza o cambiar la temperatura de un cuerpo, ocurren cambios en las posiciones relativas de los puntos dentro del cuerpo. La cinemática estudia la geometría del movimiento. Movimiento: El movimiento descrito corresponde a una deformación desde el estado inicial al final. Gradientes de desplazamiento: GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Cinemática Mov. instantáneo = Mov. Rígido + Deformación Movimiento rígido: longitud del segmento no cambia ti tf Movimiento rígido Posición actual Coord x, y, z Posición inicial Coord x, y, z Traslación Rotación GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación Dos puntos P y Q, se desplazan a P* y Q* Si ux = ux*, uy = uy*, uz = uz*  mov. rígido Sino, el cuerpo está sometido a deformación Deformación: cambio de forma del cuerpo al desplazarse sus puntos GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación Queremos definir el estado de deformación de un cuerpo  definir cambios en tamaño y forma de un elemento infinitesimal sometido a carga Desplazamiento incremental: Dado que: con GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación Queremos definir el estado de deformación de un cuerpo  definir cambios en tamaño y forma de un elemento infinitesimal sometido a carga Desplazamiento incremental: Dado que: con Gradientes de desplazamiento Largo original del segmento PQ Desplazamiento relativo GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación Largo original del segmento PQ Deformación del elemento PQ Desplazamiento relativo Rotación de cuerpo rígido del elemento GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación Deformación normal en x: acortamiento de una línea (unitaria) paralela a x Deformación de corte: es la pérdida en perpendicularidad de un par de ejes originalmente ortogonales Positivo: ángulo > 90° Negativo: ángulo < 90° Conociendo el estado de deformación en x, y, z y las deformaciones de corte, se puede calcular el estado de deformación para cualquier sistema coordenado (igual al caso de los esfuerzos) GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación Rotación de cuerpo rígido en torno a eje x Similarmente, rotaciones en torno a ejes y y z Desplazamiento total por varias rotaciones: GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación Elongación en dirección x Similarmente, elongaciones en y y z Distorsión en el plano xy (considerando ángulo a pequeño): GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación Magnitud de la deformación de corte: Similarmente: Considerando elongación (deformación lineal pura) y distorsión (deformación de corte pura) en todas las direcciones: Matriz de deformaciones GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Deformación Debemos sumar el movimiento de cuerpo rígido con la deformación por elongación y distorsión: GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Deformación Componentes de deformación normal: Componentes de deformación de corte: Completamente definido por 6 componentes independientes, relacionadas con los gradientes de desplazamiento GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación En general: GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación En general: Deformación de corte de ingeniería Deformación de corte tensorial GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación Rotación: se deben usar los valores tensoriales Ejemplo: rotación a nuevo sistema abc a partir de una rotación en torno a z con ángulo Q: GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación Estado de deformación: Tensor se trata igual que el de esfuerzos: Donde se tiene deformaciones deviatóricas normales: Las deformaciones deviatóricas de corte son simplemente las deformaciones de corte tensoriales GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Desplazamientos y Deformación Deformación isótropa o volumétrica se relaciona con la dilatación D o cambio en el volumen por unidad de volumen original de material: Deformación deviatórica se relaciona con un cambio en la forma. GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Relaciones esfuerzo-deformación Todo problema en mecánica de sólidos debe satisfacer ecuaciones diferenciales de equilibrio estático y ecuaciones de compatibilidad de deformaciones: GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Relaciones esfuerzo-deformación La idea ahora es relacionar la descripción de los esfuerzos a los que está sometido un cuerpo con las deformaciones que sufrirá. Para ello, es necesario conocer el comportamiento constitutivo del material. Existen varios modelos: Elasticidad Plasticidad Viscosidad Deslizamiento Combinaciones de estos comportamientos Esfuerzos y deformaciones se relacionan por medio de ecuaciones constitutivas en cualquiera de estos modelos. GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Relaciones esfuerzo-deformación Elasticidad es un modelo frecuente en mecánica, incluyendo mecánica de rocas  constituye una buena base para describir comportamientos más complejos Consideremos esfuerzos y deformaciones en forma de vectores de seis componentes independientes: GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Relaciones esfuerzo-deformación Forma general de la relación esfuerzo-deformación: Cada elemento de S se denomina módulo elástico 36 elementos independientes! Matriz es simétrica  21 elementos indep. GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Relaciones esfuerzo-deformación Forma inversa Matriz D es la matriz de elasticidad o de rigidez elástica En el caso general de anisotropía hay 21 elementos independientes. Caso de elasticidad isótropa, se reduce a: GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Relaciones esfuerzo-deformación Ley de Hooke para elasticidad isótropa: con: donde: E: módulo de Young G: módulo de rigidez (o de corte) n: razón de Poisson GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Relaciones esfuerzo-deformación Bastan dos constantes para definir el sistema. En forma inversa, se tiene (ecuaciones de Lamé): Constante de Lamé GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Relaciones esfuerzo-deformación Otro caso (un poco más complejo): isotropía elástica transversal Cuerpos con simetría en cualquier dirección de planos y simetría respecto a la dirección normal a los planos Ocurre en material laminado, roca estratificada… Ecuaciones constitutivas elásticas para este caso (existen algunas restricciones adicionales para hacer válidas estas ecuaciones  continuidad): GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE