Contenido ›Principio del trabajo virtual ›Método del trabajo virtual: Armaduras ›Método del trabajo virtual: vigas y marcos.

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3 Contenido ›Principio del trabajo virtual ›Método del trabajo virtual: Armaduras ›Método del trabajo virtual: vigas y marcos

4 Principio del trabajo Virtual Principio desarrollado por John Bernoulli, también conocido como el método de la carga unitaria. Proporciona un medio general para obtener el desplazamiento y la pendiente en un punto específico de una estructura, ya sea: Una viga Un marco Una armadura

5 Si se toma una estructura deformable de cualquier forma o tamaño y se le aplica una serie de cargas externas P, se producirán cargas internas U en puntos a través de toda la estructura. ES necesario relacionar las cargas externas e internas mediante las ecuaciones de equilibrio Antes de desarrollar el principio del trabajo virtual se requiere hacer algunos enunciados generales sobre el principio del trabajo y la energía:

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7 Entonces el principio del trabajo y los estados de energía puede enunciarse de manera general como sigue: Con base en este concepto ahora se desarrollará el principio del trabajo virtual:

8 Para es desarrollo del principio de trabajo virtual se considera una estructura de forma arbitraria como la de la figura. Para determinar el desplazamiento Δdel punto A en el cuerpo causado por las cargas reales P1, P2 Y P3. Estas cargas no causan movimiento a los soportes pero si pueden deformar el material más allá del limite elástico.

9 Como ninguna carga externa actúa sobre el cuerpo en A ni en la dirección de Δ, el desplazamiento Δ puede determinarse si se coloca primero una “carga virtual” sobre el cuerpo de modo que esta fuerza P’ actue en la misma dirección que Δ, por conveniencia de magnitud unitaria (P’=1). CARGA VIRTUAL: se utiliza el termino virtual para describir ña carga debido a que es imaginaria y en realidad no existe como parte de la carga real. Sin embargo la carga unitaria P’ crea una carga virtual interna U en un elemento o fibra representativa del cuerpo. Donde P’ y U se relacionan mediante las ecuaciones de equilibrio.

10 Una vez aplicadas las cargas virtuales, el cuerpo está sometido a las cargas reales P1, P2 Y P3. El punto A se desplazará una cantidad Δ, lo cual causará que el elemento se deforme una cantidad dL. La fuerza virtual externa P’ y la carga virtual interna u se pasearán a lo largo de Δ y dl respectivamente. Trabajo virtual externo= 1*Δ Trabajo virtual interno= u*dL

11 Donde: P’=1= carga unitaria virtual externa que actúa en dirección de Δ. U= carga virtual interna que actúa sobre el elemento en dirección dL. Δ= Desplazamiento externo causado por las cargas reales. dL= deformación interna del elemento causado por las cargas reales. ¿Por qué la carga virtual P’ tiene valor de 1? Al elegir P’=1 puede verse que de acuerdo a la ecuación, la solución para Δ resulta directamente puesto que:

12 ECUACIÓN DE TRABAJO VIRTUAL PARA PENDIENTES De manera parecida si deben determinarse desplazamientos rotacionales o la pendiente de la tangente en un punto sobre una estrucura se aplica un momento de para virtual M´’ con magnitud unitaria en el punto: Donde: M’=1= Momento de par unitario virtual externo que actúa en la dirección de θ. Uθ= Carga virtual interna que actua sobre un elemento en la dirección de dL. Θ= Desplazamiento rotacional externo o pendiente en radianes. dL= Deformacion interna del elemento causada por cargas reales.

13 CONCLUSIÓN Este método para aplicar el principio del trabajo virtual se conoce comúnmente como el método de las fuerzas virtuales dado que se aplica una fuerza virtual de lo que resulta el calculo de un desplazamiento real. En este caso al ecuación del trabajo virtual representa un requisito de compatibilidad para la estructura.

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16 El principio del trabajo virtual o, mas exactamente, el método de la fuerza virtual, puede formularse para deflexiones en vigas y marcos. Debe determinarse el desplazamiento  de un punto A. Para calcularse  se coloca una carga virtual unitaria que actúa en dirección de  sobre la viga A. El momento virtual interno m se determina mediante el método de las secciones en una ubicación arbitraria x medidas de la izquierda Cuando las cargas reales actúan sobre la viga, el puno A se desplaza . Cuando estas cargas causan respuesta material elástica lineal, entonces el elemento dx se deforma o gira d  =(M/EI)dx. Donde M es el momento interno en x causado por las cargas reales. Figura I

17 En consecuencia, el trabajo virtual externo realizado por la carga unitaria 1* , y el trabajo virtual interno realizado por el momento m es md  =m(M/EI)dx. La sumatoria de los efectos sobre todos los elementos dx a lo largo de la viga requiere de una integración, teniendo la ecuación siguiente: Donde: 1= carga unitaria virtual externa que actúa sobra la viga o el marco en la dirección de . m= momento virtual interno en la viga o el marco, expresado como una función de x y que es causado por la carga virtual externa.  = desplazamiento externo del punto causado por las cargas reales que actúan sobre la viga o el marco. M= momento interno de la viga o el marco, expresado como una función de x y que es causado por las cargas reales. E= modulo fe elasticidad del material. I= momento de inercia del área transversal, calculado con respecto al eje neutro.

18 Figura II Como el trabajo del par unitario es 1* , entonces

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21 ›El método del trabajo virtual puede utilizarse para determinar el desplazamiento de una junta de armadura cuando la armadura está sometida a una carga externa, a un cambio de temperatura o por errores de fabricación.

22 ›CARGA EXTERNA: Se considera el desplazamiento Δ de la junta B de la armadura. Si las cargas P1 y P2 ocasionan una respuesta material lineal elástica, este miembro se deforma en una cantidad ΔL= NL/AE, donde N es la fuerza normal en el elemento, causada por las cargas.

23 ›La ecuación de trabajo virtual para la armadura es: ›Donde: 1= Carga untaría virtual externa que actúa sobre la junta de la armadura en la dirección indicada de Δ. n= Fuerza normal virtual interna en un elemento de una armadura. Δ= Desplazamiento externo de la junta causado por la cargas reales sobre la armadura. N= Fuerza normal interna en un elemento de la armadura por las cargas reales. L= Longitud del elemento. A= Área transversal del elemento E= Modulo de elasticidad del elemento.

24 ›TEMPERATURA: En algunos casos, los elementos de una armadura podrían cambiar su longitud debido a la temperatura. Si a es el coeficiente de expansión térmica de un elemento y ΔT es el cambio en su temperatura ΔL= a ΔTL. Por lo tanto, el desplazamiento de un junta en una armadura puede determinarse por medio de la ecuación.

25 Donde: 1= Carga untaría virtual externa que actúa sobre la junta de la armadura en la dirección indicada de Δ. n= Fuerza normal virtual interna en un elemento de una armadura. Δ= Desplazamiento externo de la junta causado por la cargas reales sobre la armadura. a= Coeficiente de expansión térmica del elemento ΔL= Cambio de temperatura en el elemento. L= Longitud del elemento.

26 ›ERRORES DE FABRICACIÓN Y COMBA: En ocasiones pueden presentarse errores de fabricación en las longitudes de los elemento de una armadura. Además, en algunos casos en algunos casos es necesario hacer los elementos un poco mas largos o mas cortos, para obtener una comba en la armadura. La comba suele construirse en una armadura de puente para que la cuerda inferior se curve hacia arriba en una cantidad equivalente a la deflexión hacia debajo de la cuerda cuando esta sometida todo el peso muerto del puente.

27 ›Si un elemento de la armadura es mas o menos largo de lo previsto, el desplazamiento de una junta de la armadura respecto a su posición esperada puede determinarse con la siguiente ecuación: ›Donde: ›1= Carga untaría virtual externa que actúa sobre la junta de la armadura en la dirección indicada de Δ. ›n= Fuerza normal virtual interna en un elemento de una armadura. › Δ= Desplazamiento externo de la junta causado por la cargas reales sobre la armadura. ›ΔL= Diferencia en longitud del elemento respecto a su tamaño esperado a causa de un error de fabricación.