Ekuazio Diferentzial Arruntak

Edukia 1.1 Definizioak eta terminologia 1.2 Hastapen-baldintzetako problemak 1.3 Ekuazio diferentzialak metodo matematikotzat

1.1 Definizioak eta terminologia Sarrera: Ekuazio diferentzialak dira deribatuak dituzten ekuazioak (ez identitateak), adibidez: dy/dx = 0.2xy Ekuazio diferentzial arrunta: Aldagai independente bakar batekiko, aldagai dependente baten, edo batzuren, deribatu arruntak dituen ekuazioa. Adibidez: dy/dx + 5y = ex, (dx/dt) + (dy/dt) = 2x + y Aldagai independente batekiko edo aldagai independente batzuekiko, aldagai dependente baten edo aldagai dependente batzuren deribatuak dituen ekuazioa da. Ekuazio diferentziala

Ordena: Deribatuen ordenarik altuena Deribatu partzialezko ekuazio diferentziala: Aldagai independente batekiko edo aldagai independente batzuekiko, aldagai dependente baten edo aldagai dependente batzuren deribatu partzialak dituen ekuazioa da. Adibidez: Idazkerak: Leibniz-en notazioa: dy/dx, d2y/ dx2 marka notazioa: y’, y”, ….. azpiindizeen notazioa: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …. Ordena: Deribatuen ordenarik altuena bigarren ordenakoa lehen

n. ordenako ekuazio difentzial arruntaren adierazpen orokorra: n. ordenako ekuazio difentzial arruntaren adierazpen normala: adibidez: 4xy’ + y = x, ekuazioaren era normala hau izango zen: y’ = (x – y)/4x Linealtasuna: n. ordenako ekuazio difentzial arrunta lineala da F lineala denean y, y’, y”, …, y(n) aldagaiekiko, hau da, hurrengo erakoa denean:

n = 1 eta n = 2 kasuetarako Ekuazio diferentzial arrunta linealaren bi propietate: 1) y, y’, y”, … lehen ordenakoak dira. 2) a0, a1, …, koefizienteak dira, edo konstanteak edo x-ren funtzioak Adibide ez linearrak:

I tartean definituta eta, gutxienez, n. ordenarainoko deribatu jarraiak dituen edozein funtzio, , non, n. ordenako ekuazio diferentzialean ordezkatzen denean, ekuazioa identitatea bilakatzen den. Ekuazio diferentzial arruntaren soluzioa:

Oharra: y=0 ere da goiko ekuazio diferentzialaren soluzio bat; soluzio nabarmena alegia

Soluzio esplizitua: aldagai dependentea aldagai independentaren eta konstanteen bidez adieraz daitekenean. Hau da: soluzioa y = (x) eran idatz daitekenean. G(x, y) = 0 eratako erlazioari deitzen zaio ekuazio diferentzialaren soluzio inplizitua, ekuazio diferentzial hori betetzen duenean. Ekuazio diferentzial arrunt baten soluzio inplizitua

Adibidea: x2 + y2 = 25 da hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzio inplizitua: dy/dx = −x/y -5 < x < 5 tartean. Benetan: dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25) 2x + 2y(dy/dx) = 0 , hortaz dy/dx = -x/y

Beste soluzio esplizitu bat Soluzio inplizitua Beste soluzio esplizitu bat

Soluzio Familia: Soluzioak baldin badauka hautazko konstante bat (integrazio-konstante bat), G(x, y, c) = 0 , orduan, uler daiteke parametro bakardun soluzio familiatzat. Era berean, n konstante baleude G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0 erlazioari deitzen zaio n-parametroko soluzio familia. Soluzio partikularra: Soluzio partikular batetan ez dauzkagu hautazko parametrorik. Adibidez: y = cx – x cos x da xy’ – y = x2 sin x , ekuazio diferentzial arruntaren parametro bakardun soluzio familia (-, ) tartean, eta y = x cos x da bere soluzio partikular bat (c = 0 denean), hurrengo grafikan erakusten direnak.

Adibidea: x = c1cos 4t eta x = c2 sin 4t biak dira hurrengo ekuazio diferentzial arrunta linealaren soluzioak x + 16x = 0 erraz egiaztatzen da x = c1cos 4t + c2 sin 4t soluzioa ere badela. Izan ere, ekuazio diferentzial honen soluzio oro idatz daiteke era horretan (hau da, x = c1cos 4t + c2 sin 4t , da, deitzen den soluzio orokorra)

Adibidea: Egiaztatu daitekeenez, y = cx4 da, xy – 4y = 0, ekuazio diferentzialaren parametro bakardun soluzio familia (-, ) tartean. Dena den, hurrengo eran definitzen den funtzioa ez da familia horren kidea eta bada benetako soluzioa, soluzio singularra alegia.

Soluzio singularra: Soluzio bat familia-soluzio batetik lortu ezin dena. Adibidez: y = (x2/4 + c)2 da, dy/dx = xy1/2 , ekuazio diferentzialaren c parametro bakardun soluzio familia. Berriz, y = 0 ekuazio diferentzial horren soluzioa ere bada. y = 0 ezin denez lortu familiatik inongo c parametro baliorako, soluzio honi singularra deituko diogu.

Ekuazio diferentzialen sistema: Esango dugu ekuazio diferentzialen sistema dugula baldin eta bi (edo gehiago) ekuazio diferentzial badauzkagu, aldagai independente baten bi (edo gehiago) Adibidez: dx/dt = f(t, x, y) dy/dt = g(t, x, y) non x eta y t-ren funtzioak diren.

1.2 Hastapen-baldintzetako problemak Problema hauetan, emandako baldintza (edo baldintzak) betetzen duen (edo dituen) soluzioa bilatzen da .

1. Ordenako ekuazio diferentzialaren soluzioak

Adibidez, badakigu y = cex dela y’ = y soluzioa (-, ) tartean Adibidez, badakigu y = cex dela y’ = y soluzioa (-, ) tartean. y(0) = 3 baldintza ezartzen badigute, orduan 3 = ce0 = c. Hortaz y = 3ex izango da hastapen-baldintzetako problema honen soluzioa. Berriz(1, -2) puntutik pasatzen den soluzioa nahi badugu, hau da, y(1) = -2, baldintza betetzen duen soluzioa, orduan: -2 = ce, or c = -2e-1.

y’ + 2xy2 = 0 ekuazio diferentzialaren soluzio familia da y = 1/(x2 + c). Hastapen-baldintza, y(0) = -1, ezartzen badigute, orduan c = -1. Hurrengo hiru zehaztasunak bereiziko ditugu: Funtzio bezala, y = 1/(x2 – 1), funtzioaren definizio-eremua dira zenbaki erreal guztiak -1 eta 1 izan ezik. 2) Ekuazio diferentzialaren soluzio bezala, hiru definizio-eremu hauek ditu: (-, 1), (-1, 1), eta (1, ) 3) Hastapen-baldintzetako problemaren soluzio bezala, definizio-eremua bakarrik da: (-1, 1)

Ekuazio diferentzialaren soluziotzat Hastapen-baldintzetako problemaren soluziotzat

Adibidea: x = c1cos 4t + c2sin 4t da hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzio orokorra: x + 16x = 0 Aurkitu hurrengo hastapen-baldintzetako problemaren soluzioa: x + 16x = 0, x(/2) = −2, x(/2) = 1 Ebazpena: x(/2) = − 2 ordezkatzen badugu x = c1cos 4t + c2sin 4t, ekuazioan, c1 = −2 erdiesten da. Era berean x(/2) = 1 baldintzaren ondorioz c2 = ¼.

Soluzion izatea (existentzia) eta bakartasuna: Soluzion izatea (existentzia) eta bakartasuna: Ba al dauka hastapen-baldintzetako problema batek soluziorik? Soluziorik balego, bakarra ote?

Gogora dezagun y = x4/16 eta y = 0 biak bazirela dy/dx = xy1/2, ekuazio diferentzialaren soluzioak. Gainera biek betetzeb dute y(0) = 0, baldintza. Hortaz, hastapen-baldintzetako horrek bi soluzio desberdin dauzka.

dagoena) non existitzen den y(x) goiko hastapen- TEOREMA Bedi a  x  b, c  y  d definitzen duten R eremua, non (xo, yo) puntua bere barnean dagoen. f(x, y) eta f/y jarraiak badira R eremuan, orduan badago tarte bat, Io: xo- h < x < xo + h, h > 0, (a  x  b tartearen barruan dagoena) non existitzen den y(x) goiko hastapen- baldintzetako problemaren soluzio bakarra. Soluzio bakarraren izatea

1.3 Ekuazio diferentzialak metodo matematikotzat Hipotesiak Formulazio matematikoa Adierazi hipotesiak ekuazio diferentzialen bidez Beharrezkoa balitz aldatu hipotesiak edo egindako hurbilketak Ebatzi ekuazio diferentzialak Lortu soluzioa Egiaztatu modeloaren predikzioak Aztertu modeloaren emaitzak

Populazio baten dinamika edo eboluzioa: Aztertu nahi badugu denboran zehar populazio baten hazkundea, orduan, suposa genezake, hipotesi bezala P(t)-ren handitzea bere buruarekiko proportzionala izango dela: dP/dt  P hau da dP/dt = kP non k > 0 proportzionaltasunaren konstantea den. Desintegrazio erradioaktiboa: Hemen ere, A(t), baldin bada substantzia erradioaktiboaren kopurua t denboran: dA/dt  A or dA/dt = kA non k , oraingoan, negatiboa den k < 0. Ekuazio diferentzial berbera izan daiteke oso fenomeno desberdinen eredu matematikoa.

Newton-en berotze eta hoztearen legea: T(t) baldin bada gorputz baten tenperatura t denboran eta, Tm , inguruaren tenperatura, orduan: dT/dt  T - Tm or dT/dt = k(T - Tm) non k proportzionaltasunaren konstantea den.

Gaixotasun baten hedapena: x(t) baldin bada gaixotasuna dutenen kopurua eta y(t) kutsatuta ez daudenen kopurua, orduan: dx/dt = kxy non k proportzionaltasunaren konstantea den. Honen arabera n biztanleko populazio batera gaixo bat iristen bada: x + y = 1+n , eta dx/dt = kx(n + 1 – x) ; x(0)=1

Erreakzio kimikoak Demagun hau dugula: CH3Cl + NaOH  CH3OH + NaCl non x CH3OH-ren kopurua den, eta  eta  hasierako erreaktiboen hurrenez hurrenezko kantitateak, orduan dx/dt = k( - x)( - x)

Nahasteak: Demagun A(t) dela gatza baten gramo kopurua ontzi bateko soluzioan non 300 litro dauden. Ontzira sartzen dira 3 litro minutuko beste soluzio batena (2 gramo litrokoa) Ontzitik, nahasturaren 3 litro minutuko irteten dira. Zein ote gatzaren edukina denborarekiko ontzian? dA/dt = sartzen dena– ateratzen dena= =Rin – Rout Rin = 6 g/min, Rout = A(t)/100 (g/min) (=A(t)/300 (g/litro)x 3 litro/min) , badira hurrengo hau izango dugu: dA/dt = 6 – A/100 edo dA/dt + A/100 = 6

3litro minutuko 300 litro 3litro minutuko

Ontzi baten hustuketa