Rn–> Rn funtzioen zeroen kalkulua:

Presentación del tema: "Rn–> Rn funtzioen zeroen kalkulua:"— Transcripción de la presentación:

1 Rn–> Rn funtzioen zeroen kalkulua:
Demagun funtzio batek n-kote bati n-kote bat egokitzen diola, hau da: non:

2 Rn -tik Rn -rako funtzioa uler daiteke n osagaidun funtzioa balitz
bezala, non osagai horiek, Rn -tik R -rako funtzioak baitira: non: Rn -tik Rn -rako funtzioaren zero bat aurkitu nahi badugu hurrengo motako (x1, x2, …, xn) n-kote bat bilatu beharko dugu:

3 Aurrekoaren baliokidea da hurrengo n ekuaziozko (ekuazio hauek ez
dute zertan linealak izan) sistema ebaztea; ezezagunak x1, x2, …, xn direla: Ekuazioak linealak balira, problema hau ohiko prozeduren bidez ebatzi genezake; besteak beste Cramer-en araua erabiliz koefizienteen matrizea erregularra denean, hau da, soluzioa existitzen eta bakarra denean. Ekuazio guztiak linealak ez badira, hurrengoan ikusiko dugun prozedura numerikoa, Newton-Raphson izenekoa, erabil dezakegu soluzio numeriko hurbilduak lortzeko.

4 Newton-Raphson-en Metodoa:
R -> R funtzioekin ikusitako Newton-en metodoaren orokortzean datza, Rn -> Rn funtzioetarako den Newton-Raphson-en metodo hau. Dimentsio bakar batean, Newton-en metodoarekin, funtzioaren joera lokalari hasierako puntuan , x0-an, hurbiltzen gatzaizkio garapena moztuz lehen deribatuan: Halaber, orain n dimentsiotan, hurbilduko gatzaizkie Rn -tik R-rako funtzioei, fi(x1, x2, …, xn)-ei, hasierako n-kote, (x10, x20, …, xn0), egoki batean garapena moztuz lehen deribatu partzialetan:

5 Onar ditzagun hurrengo laburdurak:
ondorioz: eta ondoko n hurbilketen sistema suertatzen da:

6 Era matrizialean honela idatz daitezke:

7

8 Orain, bilatuko dugu n-kote bat, (x11, x21, …, xn1) non funtzioaren
hiperplano tangentea deuseztatzen den:

9 Hortaz, (x11, x21, …, xn1) n-kotea, zeinerako hiperplano tangente zero
den:

10 non:

11 Hau da, n-kote, (x10, x20, …, xn0), egoki batetik abiatuz hurrengo
formula erabiltzen dugu: beste n-kote bat, (x11, x21, …, xn1), lortzeko, funtzioaren zerotik gertuago dagoena. n-kote berri hau erabil daiteke abiapuntutzat, beste n-kote bat, (x12, x22, …, xn2), lortzeko, zeroaren hurbilketa hobea izango dena: non orain, den jacobiarraren alderantzizko matrizea kalkulatuta n-kotean. Horrela iterazio hauen bidez, zerotik gero eta gertuago geundeke.

12 Askatu hurrengo sistema x = 1, y = 1/2, puntutik abiatuz:
Aurrekoaren baliokidea da hurrengo hau: ERRADIANETAN!!!

13

14

15 f1(x1,y1) = f2(x1,y1) = 0, egiten badugu orduan (x1,y1) lortzen da:

16

17

18

19

20 x1 = 0.4, x2 = 3.0 puntutik abiatuz, aurkitu hurrengo funtzioen zeroak:
Kalkulatu hurrengo sistemaren zeroak, x = 1, y =1 puntuaren inguruan: Kalkulatu hurrengo sistemaren zeroak, x = 3, y =1 puntuaren inguruan:

21 x1 = 0.4, x2 = 3.0 puntutik abiatuz, aurkitu hurrengo funtzioen zeroak:
ERRADIANETAN!!!

22

23

24

25

26 Kalkulatu hurrengo sistemaren zeroak, x = 1, y =1 puntuaren inguruan:
ERRADIANETAN!!!

27

28

29 Kalkulatu hurrengo sistemaren zeroak, x = 3, y =1 puntuaren inguruan:
ERRADIANETAN!!!

30

31

32

33