1. Froga ezazu: a) M2x2(C) multzoa C gorputzaren gaineko bektore-espazioa dela. b) Koefiziente errealak dituzten n. Mailako polinomioen multzoa, Pn[x]={a0+

Presentación del tema: "1. Froga ezazu: a) M2x2(C) multzoa C gorputzaren gaineko bektore-espazioa dela. b) Koefiziente errealak dituzten n. Mailako polinomioen multzoa, Pn[x]={a0+"— Transcripción de la presentación:

1 1. Froga ezazu: a) M2x2(C) multzoa C gorputzaren gaineko bektore-espazioa dela. b) Koefiziente errealak dituzten n. Mailako polinomioen multzoa, Pn[x]={a0+ a1x+…+ anxn / ai  R, i=1,2, …,n}, bektore- espazioa dela R gorputzaren gainekoa. a) M2x2(C) multzoa C gorputzaren gaineko bektore-espazioa dela: Lehenik eta behin definitu beharko dugu multzo honetan barne- konposaketako legeren bat, +, (M2x2(C) , +) talde abeldarra izan dadin:

2 Barne-konposaketako legea, +, (M2x2(C) , +) hurrengo eran
definituko dugu:

3 Honela definitu dugun legea, +, argi eta garbi barne-konposaketako
legea da, M2x2(C) multzoan: eta hurrengoan frogatuko dugunez, barne-konposaketako lege horrekiko, +, (M2x2(C) , +) benetako talde abeldarra da:

4 1. : + legea elkarkorra da:
2. : + legeak elementu neutroa dauka M2x2(C) multzoan: 3. : elementu orok dauka elementu simetrikoa M2x2(C) multzoan:

5 Aurreko hiru propietateak baieztatzen direnez, (M2x2(C) , +) benetako
taldea da. Hiru horiek ez ezik ondorengo laugarren propietatea ere betetzen denez, taldea abeldarra da: 4. : + legea trukakorra da: Behin M2x2(C) multzoan barne-konposaketako legea, +, definitu dugun eta (M2x2(C) , +) talde abeldarra dela egiaztatu dugun, orain ezarriko dugu kanpo-biderkaketa bat C, zenbaki konplexuen gorputzaren eta M2x2(C)-ren artean:

6 Kanpo-biderkaketa hurrengo eran definituko dugu:

7 Erlazio hauek guztiak kontutan hartuta nabarmenki egiaztatzen
dira hurrengo lau propietate hauek: eta, ondorioz frogatuta geratzen da M2x2(C) multzoa C gorputzaren gaineko bektore-espazioa dela.

8 1. Froga ezazu: b) Koefiziente errealak dituzten n. mailako polinomioen multzoa, Pn[x]={a0+ a1x+…+ anxn / ai  R, i=1,2, …,n} bektore- espazioa dela R gorputzaren gainekoa. Lehenik eta behin definitu beharko dugu multzo honetan barne- konposaketako legeren bat, +, (Pn[x], +) talde abeldarra izan dadin: Barne-konposaketako legea hurrengo eran definituko dugu:

9 Honela definitu dugun legea, +, argi eta garbi barne-konposaketako
legea da, Pn[x] multzoan: eta hurrengoan frogatuko dugunez, barne-konposaketako lege horrekiko, +, (Pn[x] , +) benetako talde abeldarra da: 1. : + legea elkarkorra da:

10 2. : + legeak elementu neutroa dauka Pn[x] multzoan:
3. : elementu orok dauka elementu simetrikoa Pn[x] multzoan:

11 Aurreko hiru propietateak baieztatzen direnez, (Pn[x] , +) benetako
taldea da. Hiru horiek ez ezik ondorengo laugarren propietatea ere betetzen denez, taldea abeldarra da: 4. : + legea trukakorra da: Behin Pn[x] multzoan barne-konposaketako legea, +, definitu dugun eta (Pn[x] , +) talde abeldarra dela egiaztatu dugun, orain ezarriko dugu kanpo-biderkaketa bat R, zenbaki errealen gorputzaren eta Pn[x]-ren artean:

12 Kanpo-biderkaketa hurrengo eran definituko dugu:
Erlazio hauek guztiak kontutan hartuta nabarmenki egiaztatzen dira hurrengo lau propietate hauek: eta, ondorioz frogatuta geratzen da Pn[x] multzoa R gorputzaren gaineko bektore-espazioa dela.

13 2. Froga ezazu {(a+b, a, b) / a, b  R} multzoa R3-ren azpiespazio
bektoriala dela. Dei diezaiogun A azpimultzoari: Argi eta garbi A da R3-ren azpimultzoa: Benetako azpiespazio bektoriala izango da hurrengo baldintza betez gero:

14 Adieraz ditzagun u eta v hurrengo eran:
hortaz: eta, ondorioz frogatuta geratzen da bektore hau A azpimultzoaren elementua dela bere lehen koordenatua beste bien arteko batura delako:

15 3. Froga ezazu (0, 1, 1) eta (0, 2, 3) bektoreek sortutako espazio
bektoriala (R3-ren azpiespazio bektoriala alegia), eta (1, 0, 0) eta (0, 1, 0) sortutako ez direla bektore-espazio bera. Dei diezaiogun A (1, 0, 0) eta (0, 1, 0) bektoreek sortutako espazio Bektorialari (hau da, heuren barietate linealari): eta, nabarmenki, ez (0, 1, 1) ez (0, 2, 3) ere, ez dira A-ren elementuak, heuren hirugarren koordenatuak zero ez direlako:

16 4. Froga ezazu {1+0x+0x2, 1+2x+0x2, 2+3x+1x2} multzoa, P2[x]-ren
bektore-sistema sortzailea eta bektore-sistema askea dela. Aurkitu ezazu horien zein konbinazio lineala dagokio 3-x+2x2 bektoreari. Emandako bektore-sistema sortzailea izango da P2[x] bektore- espazioan, honen edozein bektore, hau da, edozein bigarren mailako polinomioa, sistemaren elementuen konbinazio lineala bada. Edo, bestela esanda, sortzailea izango da hurrengo ekuazioak soluziorik badu a, b eta g parametroentzat, polinomio guztietarako (hau da, p0, p1 eta p2 guztietarako):

17 Hori gerta dadin, hurrengo sistemak soluziorik eduki behar du
a, b eta g ezezagunetan: Ondorioz, baiezta dezakegu, bektore-sistema sortzailea dela. Ardura gaitezen orain bektore-sistemaren menpekotasun linealaz. Bektore-sistema askea izango da hurrengo ekuazioan, parametroak halabeharrez zero badira:

18 Lehen bezala arituz gero:
Ondorioz, baiezta dezakegu, bektore-sistema askea dela. Amaitzeko kalkula ditzagun 3-x+2x2 bektoreari dagokion konbinazio linealaren parametroak:

19 Aurreko erlazioak erabiliz:

20 5. Froga ezazu {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, -1, 0)} multzoa, R3-ren
bektore-sistema sortzailea ez dela. Aztertu ea (3, -1, 0) bektorea bektore-sistema honek sortutako barietate linealean dagoen ala ez. Emandako bektore-sistema sortzailea izango da R3 bektore- espazioan, honen edozein bektore, hau da, edozein hirukotea sistemaren elementuen konbinazio lineala bada. Edo, bestela esanda, sortzailea izango da hurrengo ekuazioak soluziorik badu a, b eta g parametroentzat, polinomio guztietarako (hau da, x, y eta z guztietarako): Nabermenki, sistema honek ez dauka soluziorik hirugarren koordenatua, z, ez zero denean.Hortaz, sistema ez da sortzailea.

21 Hurrengoan aztertuko dugu ea (3, -1, 0) bektorea bektore-sistema
honek sortutako barietate linealean dagoen ala ez : Edo bestela esanda, ea hurrengo sistemak soluziorik duen ala ez :

22 Hiru aldagai dauzkagunez eta bi ekuazio baino ez (hirugarrena ez da
benetako ekuazioa, identitate hutsa baizik), sistemaren soluzioa ez da bakarra izango eta soluzio guztiak (infinituak), parametro baten menpe, Adibidez, b parametroaz, idatz daitezke: Ondorioz baiezta dezakegu bektore hau bektore-sistemaren barietate linealaren benetako elementua dela :

23 6. M2x2(R) espazio bektorialean beheko bost bektore hauek linealki
dependenteak dira. Zenbait bektore kenduz lor ezazu ahalik eta haundien bektore-sistema aske bat: Linealki dependenteak direnez haien artean, gutxienez badago bektoreren bat, besteen konbinazio lineala dena eta kendu beharko duguna sistematik bektore-sistema askea erdietsi ahal izateko. Nabarmenez laugarren bektorea lortzen da hirugarrena eta bosgarrena elkarri batuz. Horrek esan nahi du hiru bektore hauek elkarren linealki dependenteak direla eta, ondorioz, horietako edozein ken dezakegula. Ken dezagun bosgarrena.

24 Lau bektore hauen arteko menpekotasun lineala aztertzeko, heuren
konbinazio lineala berdin zero egingo dugu eta soluzioa(k) aztertuko d(it)ugu. Dakigunez, soluzio bakarra balego, hori izango litzateke soluzio nabarmena (beti dagoena), hau da, konbinazio linealaren parametro guztiak berdin zero, eta, ondorioz, bektoreak linealki independentak izango lirateke.

25 Beraz, ebatzi behar dugun sistema hau da:
eta, horiek ordezkatuz bai lehenengo bai laugarrengo ekuazioetan lortzen dugu sistemaren soluzio orokorra: Egiaztatzen denez infinitu soluzioak dira, (horien artean nabarmena, hots, denak zero) eta, ondorioz, bektoreak elkarren linealki dependenteak dira.Dena den, laugarren bektoreari dagokion parametroa, d, nahitaez zero da eta horrek esan nahi du bektore hori besteekiko bai linealki independentea dela.

26 Beraz, laugarren bektore hori gordeko dugu gure bektore-sisteman
eta kenduko dugu beste hiruetako edozein. Ken dezagun, adibidez hirugarrena: Lehengoaren antzera hiru bektore hauen arteko menpekotasun lineala aztertuko dugu, heuren konbinazio lineala berdin zero eginez eta balizko soluzioa(k) bilatuz. Berriz ere, soluzio bakarra balego, (parametro guztiak zero) bektoreak linealki independentak izango lirateke.

27 Beraz, ebatzi behar dugun sistema hau da:
eta sistemaren soluzio orokorra (bakarra) honela geratzen da: Honek esan nahi du beheko bektore-sistemaren bektoreak dagoeneko elkarren linealki independenteak direla eta bektore-sistema askea osatzen dutela:

28 7. Espazio bektorial bateko u1, u2, u3 eta u4 linealki independenteak
izanik, azter ezazu ea hurrengo v1, v2, v3 eta v4 bektoreak linealki dependenteak ala independenteak diren: v1 = u1+u2+u3 v2 = u2+u3+u4 v3 = u3+u4+u1 v4 = u4+u1+u2 Ohi bezala bektore hauen arteko menpekotasun lineala aztertuko dugu heuren konbinazio lineala berdin zero eginez eta soluzioa(k) bilatuz. Dakigunez soluzio bakarra badago, (parametro guztiak zero) bektoreak linealki independentak izango dira:

29 Azkeneko ekuazio honetan parentesi artean dauzkagunak dira
eskalareak (eskalareen arteko batuketak benetako eskalareak direlako). Ondorioz ekuazio horretan daukaguna zera da: linealki independenteak diren u1, u2, u3 eta u4 bektoreen arteko konbinazio lineal bat berdin zero. Hortaz, halabeharrez, konbinazio lineal horien parametro guztiek zero izan behar dute:

30 Laburbilduz, hasierako ekuazio honetatik abiatuz:
ondorio hau halabehartzen da: Beraz, horrek esan nahi du v1, v2, v3 eta v4 bektoreak elkarren linealki independenteak direla.

31 8. Demagun {u1, u2,…, un} bektore-sistema askea eta bektore
horien konbinazio lineal ez den beste bektore bat, v. Froga ezazu, v, bektorea ere hartzen duen multzoa {u1, u2,…, un , v} bektore-sistema askea dela ere. {u1, u2,…, un , v} bektore-sistema askea dela frogatzeko sistemaren bektoreen arteko konbinazio lineala berdin zero egingo dugu eta egiaztatu beharko dugu konbinazio linealaren parametro guztiak zero direla halabeharrez: Ekuazio honetan a parametroak zero izan behar du. Bestela, v, bektorea izango litzateke u1, u2,…, un bektoreen konbinazio lineala gure hipotesiaren aurka:

32 Beraz, a parametroak zero izan behar duenez:
Baina, ekuazio honetan parametro guztiek zero izan behar dute. Horrela ez balitz, u1, u2,…, un bektoreak linealki dependenteak izango lirateke gure hipotesiaren aurka:

33 Laburbilduz, hasierako ekuazio honetatik abiatuz:
ondorio hau halabehartzen da: Beraz, horrek esan nahi du u1, u2,…,un eta v bektoreak elkarren linealki independenteak direla.