Ensayo de Rendimiento DISTRIBUCIÓN DE ESTADÍSTICOS MUESTRALES

Objetivo: conocer propiedades de una población a partir de una muestra Muestreo PropiedadesParámetros Los estadísticos muestrales sirven como estimación (aproximación) de los parámetros

Muestreo Los parámetros son constantes Los estadísticos son variables aleatorias y poseen distribución asociada

Distribución de estadísticos muestrales: objetivos Comprender la naturaleza aleatoria de los estadísticos muestrales. Estudiar las propiedades estadísticas de la media y la varianza muestrales. Adquirir destrezas en el cálculo de probabilidades asociadas a estos estadísticos.

Distribución de estadísticos muestrales Las distribuciones de los estadísticos muestrales se estudian suponiendo poblaciones de tamaño infinito.

Distribución de los estadísticos muestrales Muestreo aleatorio con reposición: las unidades seleccionadas pueden repetirse dentro de la muestra y entre muestras. Muestreo aleatorio sin reposición: las unidades seleccionadas no se repiten dentro de la muestra y entre muestras.

Distribución del estadístico media muestral: ejemplo Se tiene una población (finita) de cuatro plantas de zapallos (N=4), donde la característica de interés es el número de zapallos por planta. Se realizará un muestreo aleatorio simple con reposición, para muestras de tamaño 2. Objetivo: estudiar la distribución de la media muestral.

Distribución del estadístico media muestral PlantaX = Nº de frutos f(x i ) P1P1 31/4 P2P2 2 P3P3 1 P4P4 4 Función de densidad del número de frutos en una población de 4 plantas de zapallo.

Distribución del estadístico media muestral La esperanza será:

Distribución del estadístico media muestral La varianza será:

Distribución del estadístico media muestral Tomando muestras de dos plantas con reposición, hay N 2 muestras posibles para extraer, esto es 4 2 =16 muestras.

Distribución del estadístico media muestral MuestraPlantasNro. de frutos Media muestral MuestraPlantasNro. de frutos Media muestral 1P1P1P1P1 3; 33.09P3P1P3P1 1; P1P2P1P2 3; P3P2P3P2 1; P1P3P1P3 3; P3P3P3P3 1; P1P4P1P4 3; P3P4P3P4 1; P 2 P 1 2; P4P1P4P1 4; P 2 2; P4P2P4P2 4; P 2 P 3 2; P4P3P4P3 4; P 2 P 4 2; P4P4P4P4 4; 44.0 Espacio muestral generado por muestreo aleatorio con muestras de tamaño n=2, con reposición, de una población de cuatro plantas de zapallo.

Distribución del estadístico media muestral Valores que asume la variable aleatoria “media muestral del número de frutos” en muestras de tamaño n=2 y sus densidades. Media Muestral 11.(1/16) = (1/16) = (1/16) = (1/16) = (1/16) = (1/16) = (1/16) =

Distribución del estadístico media muestral Función de densidad de la variable aleatoria media muestral del número de frutos.

Distribución del estadístico media muestral Error Estándar

Distribución del estadístico media muestral Si se hubieran utilizado muestras de mayor tamaño, se vería que la función de densidad se aproxima más aún a la gráfica de una densidad normal, con idéntica esperanza y varianza inversamente proporcional al tamaño muestral. Este comportamiento no es casual sino la consecuencia de un importantísimo resultado que se resume en el siguiente teorema:

Sea X una variable aleatoria con esperanza µ y varianza finita  2. Sea la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n y Z la variable aleatoria definida como: Teorema Central del Límite entonces, la distribución de Z se aproxima a la distribución normal estándar cuando n se aproxima a infinito.

Ejemplo de un muestreo aleatorio sin reposición desde una población finita Rendimientos de un híbrido de maíz (N=15)  =  2 = Sin reposición

Muestreo Muestreo: todas las muestras posibles de tamaño n Estadísticos: media y varianza muestrales

Distribución de las medias de muestras con n=2

Distribución de las medias de muestras con n=3

Distribución de las medias de muestras con n=5

Distribución de las medias de muestras con n=8

Distribución del estadístico media muestral Cuando se hace un muestreo aleatorio sin reposición desde una población finita las expresiones para obtener la esperanza y la varianza de la variable media muestral son: Corrección por finitud

En síntesis:

n=3n=2 n=5n=8

Conclusión Cuando el tamaño de la muestra aumenta, la varianza de las medias disminuye Error Estándar Recordando…

Ejemplo El diámetro de las tortas de girasol se distribuye normalmente con media 18 cm y desviación estándar de 6 cm. En una muestra de 10 tortas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar tortas con diámetro promedio inferior a 16 cm?

Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad, en una muestra con n=10, de encontrar tortas con diámetro inferior a 16 cm. si la distribución del diámetro se aproxima a una N (18;36/10)?

Ejemplo Tabla de Cuantiles de la Distribución Normal Área: P(Z  z)

Distribución del estadístico media muestral Observación: los grados de libertad de la T se corresponden con el tamaño de la muestra con la que se calculó S. Cuando no se conoce la varianza poblacional: Grados de libertad

Distribución T de Student

Ejemplo Si la producción diaria de leche se aproxima a una distribución normal y se tiene la siguiente muestra de producciones diarias de leche (en litros): ¿Cuál es la probabilidad que una variable T, con los grados de libertad apropiados para este problema, exceda el valor de T obtenido a partir de los datos anteriores, si se supone que la producción promedio de leche en la población es de 67 litros?

Ejemplo

Tabla de Cuantiles de la Distribución T

Distribución asociada al estadístico varianza muestral Espacio muestral generado por muestreo aleatorio con muestras de tamaño n=2, con reposición, de una población de cuatro plantas de zapallo. MuestraPlantasNº de frutos VarianzaMuestraPlantasNº de frutos Varianza 1P1P1P1P P3P1P3P P1P2P1P P3P2P3P P1P3P1P P3P3P3P P1P4P1P P3P4P3P P2P1P2P P4P1P4P P2P2P2P P4P2P4P P2P3P2P P4P3P4P P2P4P2P P4P4P4P

Distribución del estadístico varianza muestral Valores que asume la variable aleatoria “varianza muestral del número de frutos” en muestras de tamaño n=2 y sus densidades. Varianza Muestral 04.(1/16) = (1/16) = (1/16) = (1/16) = 0.125

Distribución del estadístico varianza muestral Función de densidad de la variable aleatoria varianza muestral del número de frutos.

Distribución de las varianzas de muestras con n=3 Estadística descriptiva Variable Media Var(n) VarianzaC(n=3)

Distribución de las varianzas de muestras con n=5 Estadística descriptiva Variable Media Var(n) VarianzaC(n=5)

Para calcular probabilidades asociadas a varianzas muestrales se utiliza la distribución de la variable: Distribución Chi cuadrado Grados de libertad

Distribución Chi cuadrado

Ejemplo Un fitomejorador desea controlar la variabilidad de los brotes comerciales de espárrago, ya que las normas de embalaje establecen una longitud máxima de cajas de 23.5 cm. La variable largo del brote de espárrago sigue una distribución normal, con una varianza de 2.25 cm 2.

Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad que una muestra de 5 cajas, tenga una desviación estándar que exceda a 2 cm, si la verdadera desviación estándar es de 1.5 cm?

Ejemplo Tabla de Cuantiles de la Distribución Chi-Cuadrado